Pengenalan Singkat Tensor & Beberapa Notasi Penting

Sebenernya tadi mo tulis tentang bedanya displacement dan deformation, tp tanpa mengenal tensor terlebih dahulu, khawatirnya tulisan tersebut akan sulit dicerna.

Contoh tensor orde 2 – Tensor tegangan

Tensor sebenarnya sudah sering kita lihat, mungkin hanya kita yang ga sadar bahwa itu adalah tensor. Titik dan vektor, keduanya termasuk dalam tensor, hanya saja memiliki rank/orde yang berbeda.

Rank/orde dalam tensor :

  • Orde 0 : Titik
  • Orde 1 : Vektor
  • Orde 2 : Secara matematis ditulis dalam matriks, namun lebih sering disebut tensor
  • dst…

Apakah matriks merupakan tensor orde 2 ? Tidak selalu demikian, misalnya matriks 1×3 tentu saja bukanlah tensor orde 2 melainkan vektor, namun sebaliknya tensor pasti selalu dalam bentuk matriks

Contoh paling sederhana adalah tensor tegangan pada suatu elemen cubical di sistem koordinat kartesian seperti pada gambar diatas. Setiap muka memiliki 3 buah tegangan, yaitu 1 tegangan aksial, dan 2 tegangan geser.

Tantangannya adalah bagaimana menuliskan tegangan di elemen deformable ini kedalam bentuk matematis. Masalah ini dipecahkan dengan menggunakan tensor orde 2 yang dituliskan sebagai berikut :

\sigma_{ij} = \begin{bmatrix} {\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&{\sigma}_{13}\\{\sigma}_{21}&{\sigma}_{22}&{\sigma}_{23}\\{\sigma}_{31}&{\sigma}_{31}&{\sigma}_{33} \end{bmatrix}

Catatan :

  • Untuk kondisi elastik linear isotrop, \sigma_{ij}=\sigma_{ji}, sehingga tensor tegangan hanya memiliki 6 variabel saja.
  • Di gambar tegangan geser dilambangkan sebagai T_{ij}, namun di tensor diatas ditulis sebagai \sigma_{ij}

Einstein notation

Lambang \sigma_{ij} yang ditulis diatas berkaitan dengan sistem penyederhanaan yang diperkenalkan oleh Einstein, dikenal dengan nama Einstein notation.Β  Ini sebenernya adalah cara menyederhanakan penulisan vektor dan tensor agar ga terlalu panjang, misalnya kalo kita memiliki

y = \sum\limits_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3

Daripada ditulis sepanjang itu, kita cukup tulis

y = c_i x^i

Jadi kalo kita tulis \sigma_{ij}, itu sebenarnya adalah

\sigma_{ij} = \sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3\sigma_{ij}

Kronecker-Delta

Lambang Kronecker-Delta adalah cara untuk menulis tensor identitas dalam bentuk einstein notation, ditulis sbb :

\delta_{ij} = \begin{cases}0, \text{jika } i \neq j \\ 1, \text{jika } i = j \end{cases}

Dimana :

\delta_{ij} = e_i e_j = \begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1} \end{bmatrix}

Levi-Civita Symbol

Lambang terakhir yang perlu diperkenalkan adalah simbol Levi-Civita. Simbol ini banyak digunakan untuk melakukan operasi2 seperti determinan dan produk vektorial (cross product).

Tensor orde 3 – Levi Civita

Sesuai gambar diatas, Levi-civita merupakan salah satu contoh tensor orde 3 dalam matriks 3x3x3. Nilainya bisa +1, -1, atau 0, tergantung seberapa banyak inversi yang diperlukan untuk mendapatkan permutasi yang diinginkan (kalo mau tau lebih jauh baca ini).

Kalau jumlah total inversinya bernilai genap, ini disebut permutasi genap (even permutation), sedangkan kalau nilai total inversinya ganjil, disebut permutasi ganjil (odd permutation).

Nilai dari Levi-Civita sendiri telah digambarkan pada ilustrasi diatas, namun secara matematis nilainya adalah sbb :

\epsilon_{ijk} = \begin{cases}+1, \text{jika permutasi genap} \\ -1, \text{jika permutasi ganjil}\\ 0, \text{jika index berulang} \end{cases}

Penutup

Untuk lebih memahami notasi-notasi ini, perlu latihan dan banyak membaca, karena banyak operasi2 matematis di mekanika kontinum yang menggunakan notasi tersebut.

Operasi tensor juga ada banyak sekali, mungkin lebih mudah dipelajari lebih lanjut sambil menurunkan berbagai persamaan kontinum di posting2 berikutnya πŸ™‚

Iklan

Comments

  1. mantap-mantap tulisannya mas.. rapi lagi dan mudah difahami karena alur penjelasannya sistematis dan saling berkaitan.. terimakasih ya..
    mohon izin terus read artikel-artikel lainnya…

Trackbacks

  1. […] term kedua hasilnya adalah tensor identitas, yang merupakan Kronecker-Delta (baca lagi posting yang ini). Sedemikian sehingga, dapat kita peroleh persamaan berikut […]

  2. […] Catatan : Agar ga bingung, mungkin perlu dibaca2 lagi soal rank atau orde dari tensor […]

  3. […] ini adalah dengan menjabarkan Jacobian dalam bentuk indeksial (dalam bentuk notasi Einstein yang sudah ditulis secara singkat sebelumnya). Kita review dahulu mengenai perkalian tensor dan simbol […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: