Sebenernya tadi mo tulis tentang bedanya displacement dan deformation, tp tanpa mengenal tensor terlebih dahulu, khawatirnya tulisan tersebut akan sulit dicerna.
Contoh tensor orde 2 – Tensor tegangan
Tensor sebenarnya sudah sering kita lihat, mungkin hanya kita yang ga sadar bahwa itu adalah tensor. Titik dan vektor, keduanya termasuk dalam tensor, hanya saja memiliki rank/orde yang berbeda.
Rank/orde dalam tensor :
- Orde 0 : Titik
- Orde 1 : Vektor
- Orde 2 : Secara matematis ditulis dalam matriks, namun lebih sering disebut tensor
- dst…
Apakah matriks merupakan tensor orde 2 ? Tidak selalu demikian, misalnya matriks 1×3 tentu saja bukanlah tensor orde 2 melainkan vektor, namun sebaliknya tensor pasti selalu dalam bentuk matriks
Contoh paling sederhana adalah tensor tegangan pada suatu elemen cubical di sistem koordinat kartesian seperti pada gambar diatas. Setiap muka memiliki 3 buah tegangan, yaitu 1 tegangan aksial, dan 2 tegangan geser.
Tantangannya adalah bagaimana menuliskan tegangan di elemen deformable ini kedalam bentuk matematis. Masalah ini dipecahkan dengan menggunakan tensor orde 2 yang dituliskan sebagai berikut :
Catatan :
- Untuk kondisi elastik linear isotrop,
, sehingga tensor tegangan hanya memiliki 6 variabel saja.
- Di gambar tegangan geser dilambangkan sebagai
, namun di tensor diatas ditulis sebagai
Einstein notation
Lambang 
Daripada ditulis sepanjang itu, kita cukup tulis
Jadi kalo kita tulis
Kronecker-Delta
Lambang Kronecker-Delta adalah cara untuk menulis tensor identitas dalam bentuk einstein notation, ditulis sbb :
Dimana :
Levi-Civita Symbol
Lambang terakhir yang perlu diperkenalkan adalah simbol Levi-Civita. Simbol ini banyak digunakan untuk melakukan operasi2 seperti determinan dan produk vektorial (cross product).
Tensor orde 3 – Levi Civita
Sesuai gambar diatas, Levi-civita merupakan salah satu contoh tensor orde 3 dalam matriks 3x3x3. Nilainya bisa +1, -1, atau 0, tergantung seberapa banyak inversi yang diperlukan untuk mendapatkan permutasi yang diinginkan (kalo mau tau lebih jauh baca ini).
Kalau jumlah total inversinya bernilai genap, ini disebut permutasi genap (even permutation), sedangkan kalau nilai total inversinya ganjil, disebut permutasi ganjil (odd permutation).
Nilai dari Levi-Civita sendiri telah digambarkan pada ilustrasi diatas, namun secara matematis nilainya adalah sbb :
Penutup
Untuk lebih memahami notasi-notasi ini, perlu latihan dan banyak membaca, karena banyak operasi2 matematis di mekanika kontinum yang menggunakan notasi tersebut.
Operasi tensor juga ada banyak sekali, mungkin lebih mudah dipelajari lebih lanjut sambil menurunkan berbagai persamaan kontinum di posting2 berikutnya 🙂
James's Files 
mantap-mantap tulisannya mas.. rapi lagi dan mudah difahami karena alur penjelasannya sistematis dan saling berkaitan.. terimakasih ya..
mohon izin terus read artikel-artikel lainnya…
Makasih pak, sering2 berkunjung, sori baru balas =)
boleh minta rujukan referensi buku? saya cukup kesulitan untuk medapatkan buku yang menjelaskan secara runtuut tentang tensor dan elastisitasnya,,,
Lailatul, kebetulan dulu saya bukan belajar dengan buku berbahasa Inggris/Indonesia jadi tidak tahu buku apa dalam bahasa inggris yang baik untuk khusus belajar tensor atau elastisitas.
Secara umum sebenarnya sudah banyak buku-buku berbahasa Inggris yang membahas hal ini, kata kunci yang bisa digunakan antara lain “Continuum Mechanics” atau “Advanced mechanics of material”.
Elasticity theory adalah aplikasi dari continuum mechanics, jadi buku-buku seputar theory of elasticity biasanya sudah lebih advanced lagi setelah kita mengetahui dasar-dasar continuum mechanics.