Tensor Transformasi

Sesuai namanya, tensor transformasi merupakan tensor yang mampu mentransformasi sebuah vektor dari posisi initialnya ke posisi akhir. Memahami tensor ini merupakan langkah awal penting untuk mempelajari deformasi didalam elemen solid.

Tensor transformasi didefinisikan sebagai gradien dari posisi vektor pada kondisi akhir terhadap vektor pada kondisi initial. Tensor tersebut didefinisikan sbb :

F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}

Sekali lagi perlu diingat bahwa x_i dalam huruf kecil menyatakan posisi akhir vektor dan  X_j dalam huruf besar menyatakan posisi initial vektor. Indeks keduanya dibedakan menjadi i dan j yang berarti gradient dari keduanya akan memiliki 1 orde lebih besar, dalam hal ini tensor orde 2. Tensor tersebut dapat kita tuliskan :

\overline{\overline{F}}=\overline{\overline{Grad}}\overrightarrow{x}

Dimana \overline{\overline{Grad}} ditulis dalam huruf besar yang berarti ditulis dalam deskripsi Lagrange.

Interpretasi Mekanik

Perhatikan gambar dibawah, kita memiliki sebuah vektor \overrightarrow{M_0 N_0} pada posisi awalnya yang bertransportasi (cat : maksudnya berdilatasi) menjadi vektor \overrightarrow{M_t N_t'} serta bertransformasi menjadi vektor \overrightarrow{M_t N_t}.

transformasi-segmen

Secara matematis, transformasi diatas dapat kita tuliskan menjadi :

\overrightarrow{M_t N_t}=\overline{\overline{F}}(M_0,t)\overrightarrow{M_0 N_0}+\|\overrightarrow{M_0 N_0}\|\overrightarrow{\alpha}(\overrightarrow{M_0 N_0},t)

Jangan khawatir, persamaan diatas itu cuma tampilannya aja yg rada bikin ngeri, tp sebenernya sederhana. Vektor \overrightarrow{M_t N_t}, yaitu vektor pada kondisi akhir, dengan menggunakan term pertama dari bagian kanan persamaan diatas ditransportasi oleh tensor transformasi \overline{\overline{F}} ke posisi \overrightarrow{M_t N_t'}.

Kemudian dengan bantuan variabel \alpha, yang nilainya mendekati \overrightarrow{0} jika \|\overrightarrow{M_0 N_0}\| mendekati \overrightarrow{0} untuk suatu t tertentu, maka vektor tadi dapat ditransformasi menjadi vektor \overrightarrow{M_t N_t}.

Aproksimasi Transformasi Segmen Dalam Mekanika Kontinum

Dalam mekanika kontinum, kita perlu menyederhanakan kalkulasi transformasi segmen/bidang/volume. Mengapa perlu disederhanakan ? Karena dengan menggunakan persamaan transformasi diatas, kita akan mengalami kesulitan untuk menentukan nilai \overrightarrow{\alpha}(\overrightarrow{M_0 N_0},t) yang merupakan kelengkungan dari segmen setelah ditransformasi.

Pertanyaan selanjutnya, bagaimana mengaproksimasi kelengkungan segmen diatas ? Caranya sederhana, daripada menghitung kelengkungan segmen, kita cukup hitung bagian transformasi linear dari segmen yang melengkung tersebut. Dimana:

\overrightarrow{M_t N_t}=\overline{\overline{F}}(t)\overrightarrow{M_0 N_0}

Disini kita peroleh nilai \overrightarrow{M_t N_t} sebesar \overrightarrow{M_t N_t'} karena disini \overrightarrow{\alpha}(\overrightarrow{M_0 N_0},t) bernilai nol.

Loh koq ?  Bukannya itu ngawur ?!! \overrightarrow{M_t N_t'} kan lurus, sedangkan \overrightarrow{M_t N_t} memiliki kelengkungan gitu ?!!

Yup, namanya juga APROKSIMASI, jadi ya memang begitulah, lagipula hasil transformasi diatas memang kurang valid kalau segmen yang kita punya hanya satu. Coba lihat gambar dibawah ini kalau segmen yang kita punya ada beberapa.

Transformasi-3segmen

Nah keliatan kan kalo garis lengkung juga bisa kita hasilkan dari transformasi kalo kita punya beberapa segmen. Bayangkan kalau segmen kita banyak sekali, praktis tidak akan ada beda antara hasil transformasi linear diatas dibandingkan transformasi dengan kelengkungan yang dibahas sebelumnya.

Aproksimasi ini merupakan prinsip penting dalam aplikasi mekanika kontinum (dan tentunya elemen hingga).

Penutup

Tensor transformasi merupakan dasar sebelum mempelajari bagaimana sesungguhnya deformasi pada material dapat dikalkulasi.

Perlu diingat tensor transformasi \overline{\overline{F}} diatas merupakan tensor transformasi untuk sebuah segmen, mungkin nanti di posting2 selanjutnya bisa dibahas mengenai transformasi tensor untuk vektor, bidang dan volume elementer. Semuanya bisa diturunkan dengan mudah asalkan sudah memahami tensor transformasi ini 🙂

Iklan

Trackbacks

  1. […] Catatan : Sebelum membaca bagian ini, ada baiknya memahami terlebih dahulu mengenai tensor transformasi. […]

  2. […] Untuk memahami tulisan ini, sebaiknya membaca terlebih dahulu tentang tensor transformasi […]

  3. […] rotasi kecil, mungkin ada baiknya me-review beberapa hal yang sebelumnya pernah saya posting, yaitu tensor transformasi dan tensor […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: