Tensor Transformasi

Sesuai namanya, tensor transformasi merupakan tensor yang mampu mentransformasi sebuah vektor dari posisi initialnya ke posisi akhir. Memahami tensor ini merupakan langkah awal penting untuk mempelajari deformasi didalam elemen solid.

Tensor transformasi didefinisikan sebagai gradien dari posisi vektor pada kondisi akhir terhadap vektor pada kondisi initial. Tensor tersebut didefinisikan sbb :

Sekali lagi perlu diingat bahwa dalam huruf kecil menyatakan posisi akhir vektor dan  dalam huruf besar menyatakan posisi initial vektor. Indeks keduanya dibedakan menjadi dan yang berarti gradient dari keduanya akan memiliki 1 orde lebih besar, dalam hal ini tensor orde 2. Tensor tersebut dapat kita tuliskan :

Dimana ditulis dalam huruf besar yang berarti ditulis dalam deskripsi Lagrange.

Interpretasi Mekanik

Perhatikan gambar dibawah, kita memiliki sebuah vektor pada posisi awalnya yang bertransportasi (cat : maksudnya berdilatasi) menjadi vektor serta bertransformasi menjadi vektor .

Secara matematis, transformasi diatas dapat kita tuliskan menjadi :

Jangan khawatir, persamaan diatas itu cuma tampilannya aja yg rada bikin ngeri, tp sebenernya sederhana. Vektor , yaitu vektor pada kondisi akhir, dengan menggunakan term pertama dari bagian kanan persamaan diatas ditransportasi oleh tensor transformasi ke posisi .

Kemudian dengan bantuan variabel , yang nilainya mendekati jika mendekati untuk suatu tertentu, maka vektor tadi dapat ditransformasi menjadi vektor .

Aproksimasi Transformasi Segmen Dalam Mekanika Kontinum

Dalam mekanika kontinum, kita perlu menyederhanakan kalkulasi transformasi segmen/bidang/volume. Mengapa perlu disederhanakan ? Karena dengan menggunakan persamaan transformasi diatas, kita akan mengalami kesulitan untuk menentukan nilai yang merupakan kelengkungan dari segmen setelah ditransformasi.

Pertanyaan selanjutnya, bagaimana mengaproksimasi kelengkungan segmen diatas ? Caranya sederhana, daripada menghitung kelengkungan segmen, kita cukup hitung bagian transformasi linear dari segmen yang melengkung tersebut. Dimana:

Disini kita peroleh nilai sebesar karena disini bernilai nol.

Loh koq ?  Bukannya itu ngawur ?!! kan lurus, sedangkan memiliki kelengkungan gitu ?!!

Yup, namanya juga APROKSIMASI, jadi ya memang begitulah, lagipula hasil transformasi diatas memang kurang valid kalau segmen yang kita punya hanya satu. Coba lihat gambar dibawah ini kalau segmen yang kita punya ada beberapa.

Nah keliatan kan kalo garis lengkung juga bisa kita hasilkan dari transformasi kalo kita punya beberapa segmen. Bayangkan kalau segmen kita banyak sekali, praktis tidak akan ada beda antara hasil transformasi linear diatas dibandingkan transformasi dengan kelengkungan yang dibahas sebelumnya.

Aproksimasi ini merupakan prinsip penting dalam aplikasi mekanika kontinum (dan tentunya elemen hingga).

Penutup

Tensor transformasi merupakan dasar sebelum mempelajari bagaimana sesungguhnya deformasi pada material dapat dikalkulasi.

Perlu diingat tensor transformasi diatas merupakan tensor transformasi untuk sebuah segmen, mungkin nanti di posting2 selanjutnya bisa dibahas mengenai transformasi tensor untuk vektor, bidang dan volume elementer. Semuanya bisa diturunkan dengan mudah asalkan sudah memahami tensor transformasi ini 🙂