Small Deformation, Seberapa Kecil ? (2)

Woot, kita nyambung lagi ya dari posting sebelumnya.

cauchy-small-deformation

Tensor Deformasi

deformation-m0

Perhatikan gambar diatas, kembali kita miliki sepasang vektor pada kondisi initial dan kondisi akhirnya. Titik M merupakan titik pertemuan antara kedua vektor tersebut, dimana M_0 adalah titik pertemuan pada kondisi awal.

Berapa besar deformasi di titik M setelah bertransformasi pada kondisi akhirnya?

Mudah, kita tentukan berapa besar produk skalar dari 2 vektor tersebut, kemudian kita hitung berapa bedanya antara kondisi akhir dan awal. Itulah deformasi!!

\overrightarrow{dx}.\overrightarrow{dx'}-\overrightarrow{dX}.\overrightarrow{dX'}

Kemudian pasangan vektor pada kondisi akhir kita ubah dalam bentuk pasangan vektor dalam kondisi initial. Dengan bantuan tensor dilatasi Cauchy-Green arah kanan \overline{\overline{C}} yang dipelajari dibagian pertama, maka diperoleh:

\overrightarrow{dX}.\overline{\overline{C}}\overrightarrow{dX'}-\overrightarrow{dX}.\overrightarrow{dX'}

Kemudian sekarang tugas kita menyederhanakan persamaan diatas, cukup tambahkan tensor identitas di terms kedua dari persamaan diatas, sehingga

\overrightarrow{dX}.\overline{\overline{C}}\overrightarrow{dX'}-\overrightarrow{dX}.\overline{\overline{I}}\overrightarrow{dX'}

\overrightarrow{dX}.(\overline{\overline{C}}-\overline{\overline{I}})\overrightarrow{dX'}

Lalu, per definisi, didefinisikan bahwa :

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{C}}-\overline{\overline{I}})

Sehingga persamaan sebelumnya menjadi :

2\overrightarrow{dX}.(\overline{\overline{E}})\overrightarrow{dX'}

Tensor \overline{\overline{E}} dikenal sebagai tensor deformasi Green-Lagrange. Mengapa dikali setengah ? (Hint: Alasannya ada di bagian penutup postingan ini)

Dimana tensor \overline{\overline{E}} ini adalah tensor deformasi secara umum, artinya untuk kasus grand deformation, gunakan tensor ini !!

Catatan : Untuk perhitungan deformasi dalam kondisi sebaliknya, mengubah pasangan vektor di kondisi initial ke kondisi akhir TIDAK dibahas disini.

Perpindahan (displacement)

Apa selanjutnya ? Bagaimana menghitung small deformation setelah grand deformation sudah dapat dihitung ? Agar dapat menghitung small deformation, maka kita memerlukan bantuan vektor perpindahan agar dapat mendekomposisi tensor dilatasi Cauchy-Green arah kanan \overline{\overline{C}} dalam persamaan grand deformation.

Perpindahan adalah vektor yang merupakan besar perbedaan antara suatu vektor pada kondisi akhir \overrightarrow{x} terhadap kondisi awalnya \overrightarrow{X}, sehingga :

\overrightarrow{U}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{X}

Dimana \overrightarrow{U} adalah vektor perpindahan. Kemudian kita hitung besar gradient dari vektor perpindahan tersebut terhadap vektor di kondisi initialnya sbb:

\frac{\partial\overrightarrow{U}}{\partial\overrightarrow{X}}=\frac{\partial\overrightarrow{x}}{\partial\overrightarrow{X}}-\frac{\partial\overrightarrow{X}}{\partial\overrightarrow{X}}

Lalu untuk menyederhanakan persamaan diatas, kita perkenalkan tensor gradien dari perpindahan atau tensor Hencky yang didefinisikan:

\overline{\overline{H}}=\frac{\partial\overrightarrow{U}}{\partial\overrightarrow{X}}

Kemudian kita ketahui bahwa term pertama dari bagian kanan persaman sebelumnya merupakan tensor transformasi \overline{\overline{F}} sedangkan term kedua hasilnya adalah tensor identitas, yang merupakan Kronecker-Delta (baca lagi posting yang ini). Sedemikian sehingga, dapat kita peroleh persamaan berikut:

\overline{\overline{H}}=\overline{\overline{F}}-\overline{\overline{I}}

Dagh mulai eneg ? Sabar bentar lagi kelar !! 😆

Small Deformation

Bermodalkan definisi dari tensor Hencky, kita dapat mendekomposisi tensor dilatasi Cauchy-Green arah kanan. Persamaan sebelumnya dapat kita tuliskan ulang menjadi :

\overline{\overline{F}}=\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{I}}

\overline{\overline{F}}^T=\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{I}}

Sehingga :

\overline{\overline{C}}=\overline{\overline{F}}^T\overline{\overline{F}}

\overline{\overline{C}}=(\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{I}})(\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{I}})

Kita injeksi persamaan itu ke persamaan tensor deformasi Green-Lagrange \overline{\overline{E}} :

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{C}}-\overline{\overline{I}})

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}((\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{I}})(\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{I}})-\overline{\overline{I}})

Dengan mudah dapat disederhanakan menjadi :

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{H}})

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{H}})+\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T\overline{\overline{H}})

Kalau kita perhatikan terms kedua yang merupakan perkalian dari Tensor Hencky, maka nilainya relatif kecil, dan bilamana deformasinya kecil, maka dalam hipotesa deformasi kecil (atau dalam bahasa inggris infinitesimal strain theory) terms ini dapat diabaikan.

Sehingga terms pertama pada bagian kanan kemudian lebih dikenal sebagai small deformation yang dilambangkan dengan \overline{\overline{\epsilon}} !!!

\overline{\overline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{H}})

Namun perlu diingat, bila deformasinya besar, nilainya menjadi :

\overline{\overline{E}}=\overline{\overline{\epsilon}}+\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T\overline{\overline{H}})

Penutup

Setelah melihat persamaan terakhir, kini sudah jelas kalau tensor grand deformation mengabaikan hasil perkalian dari tensor Hencky, maka akan menjadi tensor small deformation, dengan

\overline{\overline{E}}\cong\overline{\overline{\epsilon}}

Ini adalah alasan utama mengapa tadi dalam pendefinisian \overline{\overline{E}}, kita kalikan dengan faktor \frac{1}{2}, alasannya tidak lain adalah agar saya bisa menuliskan hubungan tensor grand dan small deformation diatas tanpa embel-embel faktor pengali lagi

Kalau postingan ini telah dipahami dengan baik, maka harapannya kita sudah dapat menjelaskan dengan baik, apakah yang dimaksud dengan small deformation. Kapan harus menggunakan formulasi deformasi kecil atau besar harus dibarengi dengan engineering judgement dari sang perekayasa itu sendiri !! 🙂

Iklan

Trackbacks

  1. […] Sebelum menurunkan tensor rotasi kecil, mungkin ada baiknya me-review beberapa hal yang sebelumnya pernah saya posting, yaitu tensor transformasi dan tensor deformasi […]

  2. […] regangan kecil sejatinya merupakan bagian simetrik dari tensor gradien perpindahan, sedemikian sehingga tentunya dan sewajarnya ia simetrik :mrgreen:. Sebagai catatan, bagian […]

  3. […] Karena kita tahu bahwa tensor deformasi kecil juga adalah tensor simetrik […]

  4. […] adalah kombinasi dari persamaan kesetimbangan Newton, persamaan kompatibilitas (dihasilkan dari hubungan deformasi-perpindahan) dan persamaan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: