Divergensi & Teori Divergensi Ostrogradsky

Dear reader, saya mau diskusi lebih jauh soal mekanika kontinum. Saya mau membahas beberapa hal yg lebih kompleks penurunan rumusnya (tapi menyenangkan !!), namun agar bisa memahami penurunan2 tersebut dengan baik, disini saya mencoba mengupas terlebih dahulu secara singkat apa yang disebut dengan teori divergensi. Enjoy !! πŸ™‚

Sedikit sejarah singkat, teori divergensi diperkenalkan oleh matematikawan J. C. F. Gauss yang berkebangsaan Jerman dan M. Ostrogradsky yang berasal dari Rusia (Ukraina). Keduanya hidup di paruh pertama abad ke-19. Jadi ini merupakan teori yang sudah lama (tapi tentunya tidak usang !!)

Teori ini sangat penting aplikasinya dalam banyak persamaan di teknik sipil. Misalnya dalam penurunan rumus navier-stokes, penurunan rumus hukum kekekalan massa dalam deskripsi Euler, dan masi banyak lagi.

Divergensi

Catatan : Agar ga bingung, mungkin perlu dibaca2 lagi soal rank atau orde dari tensor3

Karena namanya teori divergen, mau ga mau kita harus kenal dulu dengan apa yang disebut divergensi.

Kalau kita sudah mengenal gradien, berarti kita sudah kenal sebagian wajah dari divergensi. Pertama-tama, misalkan diketahui suatu fungsi F(x,y,z). Cat : fungsi F dalam koordinat kartesian dan ini merupakan fungsi skalar meskipun fungsi dalam x,y,z

Sekarang kita hitung gradien dari fungsi diatas

\overline{grad} F=\frac{\partial F}{\partial x_i}=\begin{pmatrix}e_1 \frac{\partial}{\partial x_1}+e_2 \frac{\partial}{\partial x_2}+e_3\frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}F\end{pmatrix}

\overline{grad} F= \frac{\partial F}{\partial x_1}e_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}e_2+\frac{\partial F}{\partial x_3}e_3

Nah sekarang saya tulis apa yang dimaksud dengan divergen ? Mirip2 koq, sekarang ambil contoh sebuah vektor \overrightarrow{G}=G_1 e_1+G_2 e_2+G_3 e_3

div \overrightarrow{G}=\frac{\partial G_i}{\partial x_i}=\begin{pmatrix}e_1\frac{\partial}{\partial x_1}+e_2\frac{\partial}{\partial x_2}+e_3\frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}G_1 e_1+G_2 e_2+G_3 e_3\end{pmatrix}

div \overrightarrow{G}=e_1.\frac{\partial G_1}{\partial x_1}e_1+e_2.\frac{\partial G_2}{\partial x_2}e_2+e_3.\frac{\partial G_3}{\partial x_3}e_3=\frac{\partial G_1}{\partial x_1}+\frac{\partial G_2}{\partial x_2}+\frac{\partial G_3}{\partial x_3}

Jadi apa bedanya ?Β  Sederhananya, gradien dari suatu fungsi skalar menghasilkan suatu vektor (orde 1). Sedangkan divergen dari suatu vektor menghasilkan skalar (orde 0). Perlu diingat bahwa proses diatas seluruh perkalian diatas menggunakan produk skalar alias dot product.

Kalau mau tau lebih jauh silakan nonton tutorial berikut dari MIT open course yang disajikan dalam bahasa inggris dengan durasi 1 jam.

Teori Divergensi Gauss-Ostogradsky

stress-field

Flux dari permukaan benda tertutup

Bunyi hukum ini dalam bahasa non matematis adalah sbb : Seluruh flux dari permukaan benda dengan permukaan tertutup sama dengan integral volume dari divergen seluruh daerah didalam volume tersebut.

Secara matematis :

\iint \overrightarrow{G}\overrightarrow{n}ds=\iiint div(\overrightarrow{G}) dV

Bagian sebelah kiri persamaan diatas merupakan nilai skalar dari flux pada integral tertutup tertentu. Fungsi \overrightarrow{G} bisa apa saja, misalnya fungsi tegangan di permukaan bola seperti gambar diatas. Dimana bola memiliki suatu permukaan yang tertutup.

Pada contoh kasus tersebut, nilai penjumlahan nilai vektor tegangan di seluruh permukaan bola, sama dengan divergensi dari fungsi tegangan \overrightarrow{G} pada integral volume bola tersebut.

Ini sebenarnya hal sederhana dan logis, hanya perlu sedikit waktu untuk membayangkan makna fisiknya. Persamaan ini nanti akan sangat bermanfaat, karena dalam banyak kasus kita harus mengubah persamaan yang kita miliki dari bentuk integral bidang ke integral volume atau sebaliknya.

Semoga bermanfaat πŸ™‚

Iklan

Trackbacks

  1. […] prinsipnya, matriks Jacobian merupakan gradien (bukan divergen !!) dari suatu fungsi. Sehingga bila kita mempunyai fungsi dalam sistem koordinat kartesian, maka […]

  2. […] kanan, kita punya vektor yang sekarang menjadi skalar, itu kan divergennya !! (kalo lupa baca lagi postingan yang ini). Jadi […]

  3. […] gradient dan divergen yang telah saya bahas secara singkat, sekarang saya tambahkan 2 operator yang akan digunakan dalam posting2 menarik selanjutnya. […]

  4. […] teori divergensi, kita dapat mengubah terms pertama dari bagian kanan persamaan diatas dari integral luas menjadi […]

  5. […] mana setelah menggunakan persamaan Gauss/Green/Ostogradsky, dapat ditulis […]

  6. […] teori Gauss/Green/Ostogradsky, kita dapat tuliskan persamaan diatas […]

  7. […] disini kita harus menghitung besarnya perubahan debit aliran disepanjang profil (dalam hal ini divergennya) […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: