Divergensi & Teori Divergensi Ostrogradsky

Dear reader, saya mau diskusi lebih jauh soal mekanika kontinum. Saya mau membahas beberapa hal yg lebih kompleks penurunan rumusnya (tapi menyenangkan !!), namun agar bisa memahami penurunan2 tersebut dengan baik, disini saya mencoba mengupas terlebih dahulu secara singkat apa yang disebut dengan teori divergensi. Enjoy !! 🙂

Sedikit sejarah singkat, teori divergensi diperkenalkan oleh matematikawan J. C. F. Gauss yang berkebangsaan Jerman dan M. Ostrogradsky yang berasal dari Rusia (Ukraina). Keduanya hidup di paruh pertama abad ke-19. Jadi ini merupakan teori yang sudah lama (tapi tentunya tidak usang !!)

Teori ini sangat penting aplikasinya dalam banyak persamaan di teknik sipil. Misalnya dalam penurunan rumus navier-stokes, penurunan rumus hukum kekekalan massa dalam deskripsi Euler, dan masi banyak lagi.

Divergensi

Catatan : Agar ga bingung, mungkin perlu dibaca2 lagi soal rank atau orde dari tensor3

Karena namanya teori divergen, mau ga mau kita harus kenal dulu dengan apa yang disebut divergensi.

Kalau kita sudah mengenal gradien, berarti kita sudah kenal sebagian wajah dari divergensi. Pertama-tama, misalkan diketahui suatu fungsi . Cat : fungsi dalam koordinat kartesian dan ini merupakan fungsi skalar meskipun fungsi dalam

Sekarang kita hitung gradien dari fungsi diatas

Nah sekarang saya tulis apa yang dimaksud dengan divergen ? Mirip2 koq, sekarang ambil contoh sebuah vektor

Jadi apa bedanya ?  Sederhananya, gradien dari suatu fungsi skalar menghasilkan suatu vektor (orde 1). Sedangkan divergen dari suatu vektor menghasilkan skalar (orde 0). Perlu diingat bahwa proses diatas seluruh perkalian diatas menggunakan produk skalar alias dot product.

Kalau mau tau lebih jauh silakan nonton tutorial berikut dari MIT open course yang disajikan dalam bahasa inggris dengan durasi 1 jam.

Teori Divergensi Gauss-Ostogradsky

Flux dari permukaan benda tertutup

Bunyi hukum ini dalam bahasa non matematis adalah sbb : Seluruh flux dari permukaan benda dengan permukaan tertutup sama dengan integral volume dari divergen seluruh daerah didalam volume tersebut.

Secara matematis :

Bagian sebelah kiri persamaan diatas merupakan nilai skalar dari flux pada integral tertutup tertentu. Fungsi bisa apa saja, misalnya fungsi tegangan di permukaan bola seperti gambar diatas. Dimana bola memiliki suatu permukaan yang tertutup.

Pada contoh kasus tersebut, nilai penjumlahan nilai vektor tegangan di seluruh permukaan bola, sama dengan divergensi dari fungsi tegangan pada integral volume bola tersebut.

Ini sebenarnya hal sederhana dan logis, hanya perlu sedikit waktu untuk membayangkan makna fisiknya. Persamaan ini nanti akan sangat bermanfaat, karena dalam banyak kasus kita harus mengubah persamaan yang kita miliki dari bentuk integral bidang ke integral volume atau sebaliknya.

Semoga bermanfaat 🙂