Turunan Terhadap Waktu Pada Besaran Skalar

Sebelum membaca bagian ini, wajib terlebih dahulu memahami tentang perbedaan deskripsi euler dan lagrange.

Review deskripsi Lagrange & Euler

Seperti telah dijelaskan melalui posting sebelumnya bahwa secara dasar, ada 2 buah deskripsi yang dapat digunakan, yaitu deskripsi Euler dan deskripsi Lagrange. Meskipun saat ini sudah banyak metode hybrid (campuran) dari keduanya, namun kedua deskripsi tersebut adalah 2 deskripsi dasar yang wajib dipahami.

Deskripsi Lagrange

Bayangkan gambar diatas sebagai sebuah kapal selam yang sedang berjalan dari posisi kiri ke kanan dari waktu hingga . Perhatikan titik2 pada kapal selam tersebut !! (perbesar gambar diatas bila tidak kelihatan titik2nya). Titik2 menggambarkan titik2 yang diamati.

Ini merupakan tipikal deskripsi Lagrange, pada deskripsi ini, titik pengamatan bergerak bersama dengan benda yang diamati !!

Deskripsi Euler

Sekarang perhatikan gambar diatas, pada gambar diatas, kita mendapati hal yang sama, sebuah kapal selam bergerak dari kiri ke kanan. Namun perhatikan dimana titik2 tersebut berada ? (kembali perbesar gambar agar jelas terlihat titik2nya). Titik2 tersebut memenuhi seluruh daerah pengamatan !!

Ini yang kita sebut deskripsi Euler. Titik2 pengamatan tersebut tetap pada posisinya.

Diferensial total dari besaran skalar

Skalar bisa berupa apa saja, contohnya banyak, misalnya temperatur, ia merupakan besaran skalar.

Anggap kita punya sebuah fungsi yang merupakan fungsi temperatur.

Kita ingin tahu berapa besarnya perubahan temperatur menurut waktu.

Mudah !! Turunkan saja fungsi temperatur tersebut !? Tapi kita sekarang punya permasalahan, kita punya 2 deskripsi… Jangan khawatir, kita akan turunkan satu per satu disini.

1. Menurut deskripsi Lagrange

Didalam deskripsi ini, posisi akhir pengamat selalu berhimpit dengan posisi si kapal selam, sehingga posisi akhirnya selalu merupakan fungsi dalam posisi awalnya . Pada tertentu, maka kita punya nilai dan yang SELALU berpasangan.

Ini berarti, benda yang kita amati, pergerakannya memiliki trayek tertentu. Untuk lebih jelasnya bisa melihat apa yang disebut dengan trajectory di wikipedia.

Karena nilai hanya tergantung pada posisi awal , maka persamaan temperatur diatas dapat disederhanakan menjadi :

Menurunkan persamaan ini menurut waktu ya sangat mudah, karena diantara 2 variabel dan , hanya satu variabel yang bergantung menurut waktu, sehingga :

2. Menurut deskripsi Euler

Karena didalam deskripsi Euler kita tidak dapat menyederhanakan persamaan , maka mau tidak mau kita harus melakukan turunan parsial. Mengapa ? Jelas karena didalam persamaan tersebut, kedua variabelnya tergantung terhadap waktu

Bila kita turunkan persamaan tersebut, maka prosesnya adalah sbb :

Pada terms pertama pada bagian kanan persamaan diatas, fungsi harus diturunkan terhadap variabel yang nilainya tergantung menurut waktu . Ini merupakan perbedaan mencolok pada fungsi skalar yang diturunkan menurut waktu pada deskripsi euler.

Karena kita tahu bahwa :

dan

Maka, persamaan sebelumnya dapat disederhanakan menjadi :

Catatan : Kalau lupa apa itu , itu merupakan lambang dari gradient

Penutup

Seperti posting sebelumnya tentang divergen, postingan kali ini masi berkaitan dengan dasar2 yang diperlukan untuk menurunkan hukum kekekalan massa dalam deskripsi Euler. Tujuannya tentu saja agar reader dapat terlebih dahulu benar2 memahami perbedaan deskripsi euler dan deskripsi lagrange.