Matriks Jacobian & Determinannya

Mei 9, 2013 oleh 4 Komentar

Untuk memahami tulisan ini, sebaiknya membaca terlebih dahulu tentang tensor transformasi.

carl-jacobi

Carl Jacobi

Nama matriks (Jacobian) ini diambil dari nama seorang matematikawan Jerman bernama Carl Gustav Jacob Jacobi (gambar diatas).

Agar tidak menimbulkan kerancuan, dari awal tulisan ini saya tegaskan bahwa perlu dibedakan antara matriks Jacobian dan Jacobian.

Matriks Jacobian & relasinya dengan tensor transformasi

Pada prinsipnya, matriks Jacobian merupakan gradien (bukan divergen !!) dari suatu fungsi (bisa skalar atau vektor). Sehingga bila kita mempunyai fungsi dalam sistem koordinat kartesian, maka contohnya bila kita hitung fungsi vektorial F_i :

\overline{\overline{J}} = \frac{\partial F_i}{\partial X_j}

Dengan i=[1,3] danj=[1,3] maka kita miliki :

\overline{\overline{J}} = \begin{bmatrix}{\partial F_1/\partial X_1}&{\partial F_1/\partial X_2}&{\partial F_1/\partial X_3}\\{\partial F_2/\partial X_1}&{\partial F_2/\partial X_2}&{\partial F_2/\partial X_3}\\{\partial F_3/\partial X_3}&{\partial F_3/\partial X_2}&{\partial F_3/\partial X_3}\end{bmatrix}

Perhatikan bahwa bila fungsi F_i, kita ganti dengan vektor pada kondisi akhir x_i, maka kita peroleh:

\overline{\overline{J}} = \begin{bmatrix}{\partial x_1/\partial X_1}&{\partial x_1/\partial X_2}&{\partial x_1/\partial X_3}\\{\partial x_2/\partial X_1}&{\partial x_2/\partial X_2}&{\partial x_2/\partial X_3}\\{\partial x_3/\partial X_3}&{\partial x_3/\partial X_2}&{\partial x_3/\partial X_3}\end{bmatrix}

Yang tidak lain dan tidak bukan adalah tensor transformasi \overline{\overline{F}} !!

\overline{\overline{F}}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}=\begin{bmatrix}{\partial x_1/\partial X_1}&{\partial x_1/\partial X_2}&{\partial x_1/\partial X_3}\\{\partial x_2/\partial X_1}&{\partial x_2/\partial X_2}&{\partial x_2/\partial X_3}\\{\partial x_3/\partial X_1}&{\partial x_3/\partial X_2}&{\partial x_3/\partial X_3}\end{bmatrix}

Disini kita lihat bahwa tensor transformasi merupakan salah satu contoh matriks Jacobian.

Determinan Jacobian

Determinan merupakan nilai skalar dari suatu tensor, yang menggambarkan intensitas tensor tersebut.

Sehingga, determinan untuk tensor transformasi diatas adalah

|\overline{\overline{F}}|=\begin{vmatrix}{\partial x_1/\partial X_1}&{\partial x_1/\partial X_2}&{\partial x_1/\partial X_3}\\{\partial x_2/\partial X_1}&{\partial x_2/\partial X_2}&{\partial x_2/\partial X_3}\\{\partial x_3/\partial X_1}&{\partial x_3/\partial X_2}&{\partial x_3/\partial X_3}\end{vmatrix}

Determinan dari matriks Jacobian inilah yang seringkali disebut sebagai Jacobian / Jacobien / Jacobienne dilambangkan dengan J

J = |\overline{\overline{F}}|

Tadi saya sempat menyebut bahwa Jacobian menggambarkan intensitas tensor. Apa maksudnya ??

Pernyataan ini berkaitan dengan nilai  Jacobian merupakan nilai pembesaran atau pengecilan dari suatu volume. Untuk memudahkan, ambil contoh pembesaran/pengecilan suatu kubus.

transformasi-volume

Volume initial dari kubus tersebut misalnya dv_0 yang dapat dirumuskan sebagai :

dv_0=dX_1 dX_2 dX_3

Dan volume di kondisi akhirnya adalah

dv=dx_1 dx_2 dx_3

Dimana dX_1, dX_2, dan dX_3 merupakan panjang initial dari sisi-sisi kubus tersebut. Setelah bertransformasi, panjang sisi-sisi kubus tersebut menjadi dx_1$, dx_2, dan dx_3

Dapat kita hitung perubahan panjangnya pada masing2 sisi adalah \frac{\partial dx_1}{\partial dX_1}, \frac{\partial dx_2}{\partial dX_2}, dan \frac{\partial dx_1}{\partial dX_3}

Kita dapat masukkan dilatasi dari masing2 sisi tersebut pada tensor transformasi, sehingga :

\overline{\overline{F}}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}=\begin{bmatrix}{\partial x_1/\partial X_1}&{0}&{0}\\{0}&{\partial x_2/\partial X_2}&{0}\\{0}&{0}&{\partial x_3/\partial X_3}\end{bmatrix}

Jacobian-nya dapat dihitung dengan mudah, yaitu

J=(\partial x_1/\partial X_1)(\partial x_2/\partial X_2)(\partial x_3/\partial X_3)

Dimana nilai ini melambangkan besarnya perubahan volume antara kondisi initial dan kondisi akhir, sehingga :

dv=J dv_0

Aplikasi numerik

Masih bingung dengan hitungan diatas ?? Yaudah, nih coba pake contoh dengan angka yah. Misalkan di kondisi awal kita miliki kubus dengan sisi-sisi sbb :

dX_1=4, dX_2=6, dX_3=2

Kemudian pada posisi akhir, sisi-sisinya menjadi

dx_1=5, dx_2=3, dx_3=7

Dari sini kita harus hitung berapa besar dilatasi pada masing2 arahnya

\frac{\partial dx_1}{\partial dX_1}=\frac{5}{4}

\frac{\partial dx_2}{\partial dX_2}=\frac{3}{6}

\frac{\partial dx_1}{\partial dX_3}=\frac{7}{2}

Berdasarkan persamaan sebelumnya, untuk kubus diatas, Jacobian-nya adalah

J=(\partial x_1/\partial X_1)(\partial x_2/\partial X_2)(\partial x_3/\partial X_3)=(\frac{5}{4})(\frac{3}{6})(\frac{7}{2})=\frac{35}{16}

Sekarang bandingkan dengan volume kedua kubus

dv_0=(4)(6)(2)=48

dv=(5)(3)(7)=105

Sekarang hitung berapa rasio volume akhir terhadap volume awalnya

\frac{dv}{dv_0}=\frac{105}{48}=\frac{35}{16}

Ternyata keduanya sama persis !! Jadi memang terbukti bahwa Jacobian menggambarkan rasio perubahan volume !! 😎

Filed Under: Mekanika Kontinum
«
»

Comments

  1. muin says:
    April 19, 2016 pukul 18:38

    Kereeennnn Bang, Mungkin bisa berlanjut tulisannya ke Teori Relativitas UMUM

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: