Hukum Kekekalan Massa Dalam Deskripsi Eulerian & Lagrangian

Pemahaman yang diperlukan untuk memahami tulisan ini :

Relasi hukum kekekalan massa & Hukum kekekalan energi

Hukum kekekalan massa mungkin merupakan sesuatu yang sekarang dianggap hal yang sahih. Tidak ada yang menganggapnya aneh, dan menurut saya sebagian besar orang sudah paham sekali dengan hukum ini. Sejak jaman dahulupun, sudah banyak ilmuwan dan pemikir yang telah memikirkan tentang konsep ini.

Antoine Lavoisier

Namun pada masa2 tersebut, tidak ada pembuktian tentang hukum ini. Sebelum akhirnya pada akhir abad ke 18, Lavoisier, seorang ilmuwan Prancis melakukan percobaan kimia dengan membakar kayu lalu menakar massanya sebelum dan sesudah reaksi kimia pembakaran terjadi. Ia menemukan bahwa massa potongan kayu tersebut tidak berubah. Iapun akhirnya menjadi orang pertama yang menyatakan tentang hukum kekekalan massa.

Pada percobaan tersebut, sistem tidak berada kondisi yang benar2 tertutup, artinya ada panas/cahaya yang bisa masuk atau keluar sistem. Secara teori, hukum kekekalan massa hanya berlaku pada sistem tertutup, namun pengaruh hilangnya materi dari panas pada percobaan tersebut sangatlah kecil dan efeknya tidak terdeteksi/terabaikan hingga datangnya abad nuklir.

Jadi, menjawab pernyataan diawal tadi, hukum kekekalan massa secara teori hanya berlaku bila tidak kehilangan energi pada sistem.

Turunan terhadap waktu pada integral volume

Agar dapat mendeskripsikan hukum kekekalan massa dalam deskripsi Euler, kita harus memahami turunan terhadap waktu pada suatu integral dari volume elementer.

Besarnya integral suatu volume pada elemen suatu benda padat dapat dideskripsikan dengan persamaan berikut :

I=\int b(\overrightarrow{x},t)dv

Dimana I merupakan hasil total integrasi pada suatu volume elementer dengan intensitas b(\overrightarrow{x},t)

(1) Dalam deskripsi Lagrange

Dalam deskripsi ini, kita ketahui bahwa variabel2nya hanya tergantung pada variabel initialnya, dimana :

B(\overrightarrow{X},t)=b(\overrightarrow{x}(\overrightarrow{X},t),t)

dv=Jdv_0

Kita substitusi keduanya kedalam persamaan integral volume :

I=\int B(\overrightarrow{X},t)J dv_0

Kemudian turunkan persamaan integral tersebut terhadap waktu

\frac{DI}{Dt}=\int \frac{D(B(\overrightarrow{X},t)J)}{Dt} dv_0

Jabarkan turunan parsialnya

\frac{DI}{Dt}=\int (\frac{DB}{Dt}J+B\frac{DJ}{Dt}) dv_0

Coba lihat, kita memiliki turunan Jacobian terhadap waktu !! Gampang, kan sudah diturunkan sebelumnya πŸ™‚

\frac{DJ}{Dt}=Jdiv\overrightarrow{V}

Sehingga kita peroleh turunan terhadap waktu dari integral volume dalam deskripsi Lagrange

\frac{DI}{Dt}=\int \frac{DB}{Dt}J+BJdiv\overrightarrow{V} dv_0

(2) Dalam deskripsi Euler

Penurunan persamaan integral volume dalam bentuk eulerian dimulai sbb :

I=\int b(\overrightarrow{x},t)Jdv_0

\frac{DI}{Dt}=\int \frac{D(bJ)}{Dt} dv_0

Pertama-tama sebelumnya kita harus turunkan parsial persamaan diatas

\frac{DI}{Dt}=\int (\frac{Db}{Dt}J+b\frac{DJ}{Dt}) dv_0

Persamaan diatas dapat kita sederhanakan dengan mudah, sama seperti sebelumnya dalam penurunan deskripsi euler

\frac{DI}{Dt}=\int (\frac{Db}{Dt}J+bJdiv\overrightarrow{V}) dv_0

Sederhanakan menjadi :

\frac{DI}{Dt}=\int (\frac{Db}{Dt}+bdiv\overrightarrow{V}) dv

Inilah bentuk pertama dari turunan terhadap waktu dari integral volume menggunakan deskripsi euler. Ada bentuk lainnya yang dapat kita gunakan. Pertama-tama dari postingan sebelumnya kita ketahui bahwa penurunan skalar terhadap waktu dalam deskripsi Euler adalah sbb :

\frac{Db}{Dt}=\overrightarrow{grad}\text{ }b.\overrightarrow{V}+\frac{\partial b}{\partial t}

Sehingga persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi :

\frac{DI}{Dt}=\int ((\overrightarrow{grad}\text{ }b.\overrightarrow{V}+\frac{\partial b}{\partial t})J+bJdiv\overrightarrow{V}) dv_0

Maka kita peroleh bentuk kedua dari turunan terhadap waktu dari integral volume dalam deskripsi Euler

\frac{DI}{Dt}=\int ((\overrightarrow{grad}\text{ }b.\overrightarrow{V}+\frac{\partial b}{\partial t})+bdiv\overrightarrow{V}) dv

Persamaan ini dapat kita sederhanakan pula menjadi

\frac{DI}{Dt}=\int (\frac{\partial b}{\partial t}+div(b \overrightarrow{V})) dv

Hukum kekekalan massa

Sekarang apa hubungannya penurunan persamaan diatas yg cukup njelimet pada hukum kekekalan massa ? Sederhana, karena kita ingin mendeskripsikan hukum kekekalan massa dalam deskripsi eulerian. Kalau hukum kekekalan massa dalam deskripsi lagrange sudah umum kita jumpai.

Hukum kekekalan massa dalam deskripsi eulerian dipakai secara luas pada studi mekanika fluida dan tentunya mekanika struktur (misalnya dalam studi elastisitas). Karena dengan menggunakan deskripsi ini, kita dapat mengetahui besarnya kerapatan \rho pada semua titik dalam sistem pada waktu kapanpun juga.

Jadi hubungannya dengan persamaan integral volume ? Kerapatan atau massa jenis, merupakan besaran skalar, bila kita ubah besaran b pada bagian sebelumnya, menjadi \rho, maka integrasi I pada suatu volume adalah massa m !!

Sehingga kita dapat mengubah persamaan

I=\int b(\overrightarrow{x},t) dv

Menjadi

m=\int \rho(\overrightarrow{x},t) dv

Hukum kekekalan massa mengatakan, total massa selalu konstan, tidak berubah menurut waktu,

\frac{Dm}{Dt}=0

Sehingga menggunakan 2 bentuk turunan terhadap waktu dari integral volume, maka secara matematis dapat kita tuliskan

\frac{Dm}{Dt}=\int (\frac{D \rho}{Dt}+\rho div\overrightarrow{V}) dv = 0

\frac{Dm}{Dt}=\int (\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})) dv = 0

Sederhanakan menjadi :

\frac{D \rho}{Dt}+\rho div\overrightarrow{V}=0

\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})=0

Inilah bentuk hukum kekekalan massa menurut deskripsi Euler. Ga begitu sulit kan, rumus ini sebaiknya dihafal karena selalu diperlukan untuk menyelesaikan banyak kasus.

Well done, one step at a time 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] kontinuitas yang saya maksud disini adalah hukum kekekalan massa. Pada posting mengenai hukum kekekalan massa saya telah membahas dan menurunkan persamaan kekekalan massa […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: