Turunan Terhadap Waktu Pada Integral Volume Elementer

Di posting sebelumnya mengenai Jacobian, kita sudah bicara mengenai apa yang dimaksud dengan Jacobian, yang tidak lain dan tidak bukan adalah determinan dari tensor transformasi \overline{\overline{F}}. Dimana nilai Jacobian menggambarkan besarnya perubahan volume.

Di tulisan ini, saya akan menurunkan volume elementer terhadap waktu, untuk mencari besarnya laju perubahan dari volume. Ini adalah potongan puzzle terakhir yang diperlukan untuk menghitung hukum kekekalan massa.

transformasi-volume-sembarang

Kita mulai dari hubungan volume di kondisi akhir dan kondisi initial:

dv=Jdv_0

Sekarang kita turunkan persamaan diatas menurut waktu:

\frac{D}{Dt}(dv)=\frac{D}{Dt}(Jdv_0)

Karena dv_0 merupakan nilai volume elementer di posisi awal, nilainya konstan, sehingga hanya J yang bergantung terhadap waktu

\frac{D}{Dt}(dv)=\frac{DJ}{Dt}dv_0=\frac{1}{J}\frac{DJ}{Dt}dv

Karena hanya J yang bergantung terhadap waktu, maka kunci penyelesaian masalah ini tergantung dari bagaimana kita dapat menyelesaikan \frac{DJ}{Dt}

Trik penyelesaian masalah ini adalah dengan menjabarkan Jacobian dalam bentuk indeksial (dalam bentuk notasi Einstein yang sudah ditulis secara singkat sebelumnya). Kita review dahulu mengenai perkalian tensor dan simbol Levi-Civita.

Perkalian tensor dalam notasi Einstein

Agar tidak bingung, kita ambil contoh sederhana, kalikan tensor orde-1 P_i dengan i=[1,2] dan tensor orde-2 Q_{ij} dengan i,j=[1,2], apa yang akan dihasilkan ? Mudah sekali, tentu kita akan mendapatkan suatu vektor kan, contohnya sebagai berikut :

\begin{bmatrix}{R_1}&{R_2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{P_1}&{P_2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{Q_{11}}&{Q_{12}}\\{Q_{21}}&{Q_{22}}\end{bmatrix}

Kalau kita buat dalam bentuk notasi Einstein, maka akan menjadi

R_{j} = P_{i} Q_{ij}

Disini dengan mudah dapat kita simpulkan, indeks yang berulang pada notasi Einstein, akan hilang saat dikalikan !! Silahkan buktikan pada perkalian2 lainnya yang lebih kompleks.

Jacobian dan simbol Levi-Civita

Simbol ini sempat kita singgung secara singkat di tulisan mengenai pengenalan singkat beberapa notasi penting. Seperti sudah diketahui sebelumnya, simbol Levi-Civita merupakan tensor orde-3 yang dalam bentuk notasi Einstein dapat ditulis \epsilon_{pqr}

Dengan menggunakan simbol ini, maka Jacobian dapat ditulis dalam bentuk indeksial menjadi :

J=det \overline{\overline{F}}=\epsilon_{pqr} F_{1p} F_{2q} F_{3r}

Perhatikan bahwa indeks p,q,r masing-masing muncul 2x dalam persamaan diatas, sehingga jelas bahwa perkalian indeksial tersebut akan menghasilkan skalar.

Perlu diingat bahwa F_{1p},F_{2q},F_{3r}, ketiganya bukan tensor orde-2, ketiganya merupakan vektor !!!

Turunan Jacobian terhadap waktu

Sekarang kita siap untuk menurunkan Jacobian terhadap waktu !!

\frac{DJ}{Dt}=D(\epsilon_{pqr} F_{1p} F_{2q} F_{3r})/Dt

Kita tahu bahwa simbol Levi-Civita \epsilon_{pqr} merupakan konstanta, sedangkan ketiga vektor lainnya F_{1p},F_{2q},F_{3r} (yang merupakan bagian dari tensor transformasi) bergantung terhadap waktu, sehingga disini kita harus melakukan turunan parsial

\frac{DJ}{Dt}=\epsilon_{pqr}\frac{DF_{1p}}{Dt}F_{2q}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}\frac{DF_{2q}}{Dt}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}F_{2q}\frac{DF_{3r}}{Dt}

Jadi problem yang kita miliki telah direduksi dari penurunan Jacobian terhadap waktu, menjadi turunan tensor transformasi terhadap waktu. Untung saja penurunan tensor transformasi terhadap waktu sangatlah mudah. Pertama-tama ingat definisi tensor transformasi F_{ij}

F_{ij}=\frac{x_i}{X_j}

Kemudian jabarkan penurunan tensor transformasi terhadap waktu

\frac{DF_{ij}}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial x_i}{\partial X_j}=\frac{\partial}{\partial X_j}\frac{\partial x_i}{\partial t}

Karena turunan parsial disebut dengan gradien dan perubahan posisi waktu sudah kita kenal sebagai kecepatan. Maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

\frac{DF_{ij}}{Dt}=\frac{\partial}{\partial X_j}\frac{\partial x_i}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial X_j}(V_i)=\overline{\overline{Grad}}\overrightarrow{V}

Sekarang tinggal mensubstitusi informasi ini ke persamaan sebelumnya

\frac{DJ}{Dt}=\epsilon_{pqr}\frac{DF_{1p}}{Dt}F_{2q}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}\frac{DF_{2q}}{Dt}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}F_{2q}\frac{DF_{3r}}{Dt}

\frac{DJ}{Dt}=\epsilon_{pqr}\frac{\partial V_1}{\partial X_p}F_{2q}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}{\partial V_2}{\partial X_q}F_{3r}+\epsilon_{pqr}F_{1p}F_{2q}\frac{\partial V_3}{\partial X_r}

Kalo kita lihat persamaan ini, banyak kemiripan dengan persamaan ini kan

det \overline{\overline{F}}=\epsilon_{pqr} F_{1p} F_{2q} F_{3r}

Jadi ?? Yuupp, sederhana saja, jadi ternyata persamaan yang panjang diatas itu sebenernya penjumlahan determinan2 !! Naahhm sekarang kita jabarkan persamaan tersebut dalam bentuk matriks

\frac{DJ}{Dt}=\begin{vmatrix}{\frac{\partial V_1}{\partial X_1}}&{\frac{\partial V_1}{\partial X_2}}&{\frac{\partial V_1}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial x_2}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_2}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_2}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial x_3}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_3}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_3}{\partial X_3}}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\frac{\partial x_1}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_1}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_1}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial V_2}{\partial X_1}}&{\frac{\partial V_2}{\partial X_2}}&{\frac{\partial V_2}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial x_3}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_3}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_3}{\partial X_3}}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\frac{\partial x_1}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_1}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_1}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial x_2}{\partial X_1}}&{\frac{\partial x_2}{\partial X_2}}&{\frac{\partial x_2}{\partial X_3}}\\{\frac{\partial V_3}{\partial X_1}}&{\frac{\partial V_3}{\partial X_2}}&{\frac{\partial V_3}{\partial X_3}}\end{vmatrix}

Masih inget donk isi posting sebelumnya yang menjabarkan Jacobian, sekarang dipake nih disini :

J=\begin{vmatrix}{\partial x_1/\partial X_1}&{\partial x_1/\partial X_2}&{\partial x_1/\partial X_3}\\{\partial x_2/\partial X_1}&{\partial x_2/\partial X_2}&{\partial x_2/\partial X_3}\\{\partial x_3/\partial X_1}&{\partial x_3/\partial X_2}&{\partial x_3/\partial X_3}\end{vmatrix}

Persamaan sebelumnya dapat kita sederhanakan dengan memfaktorkan Jacobian-nya, sehingga menjadi :

\frac{DJ}{Dt}=J\begin{vmatrix}{\frac{\partial V_1}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_1}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_1}{\partial x_3}}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{vmatrix}+J\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{\frac{\partial V_2}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_2}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_2}{\partial x_3}}\\{0}&{0}&{1}\end{vmatrix}+J\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{\frac{\partial V_3}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_3}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_3}{\partial x_3}}\end{vmatrix}

\frac{1}{J} \frac{DJ}{Dt}=\begin{vmatrix}{\frac{\partial V_1}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_1}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_1}{\partial x_3}}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{\frac{\partial V_2}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_2}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_2}{\partial x_3}}\\{0}&{0}&{1}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{\frac{\partial V_3}{\partial x_1}}&{\frac{\partial V_3}{\partial x_2}}&{\frac{\partial V_3}{\partial x_3}}\end{vmatrix}

Nah dari sini tinggal hitung determinannya, mudah sekali kan menghitungnya karena banyak angka nol-nya disitu

\frac{1}{J} \frac{DJ}{Dt}=\frac{\partial V_1}{\partial x_1}+\frac{\partial V_2}{\partial x_2}+\frac{\partial V_3}{\partial x_3}

Lihat kan disebelah kanan, kita punya vektor V_i yang sekarang menjadi skalar, itu kan divergennya !! (kalo lupa baca lagi postingan yang ini). Jadi :

\frac{1}{J} \frac{DJ}{Dt}=div\overrightarrow{V}

Ini merupakan properti penting yang akan sering digunakan nantinya, meskipun penurunannya panjang, namun ternyata hasil akhirnya sangat sederhana 😎

Hasil turunan terhadap waktu pada volume elementer

Kembali ke judul tulisan diawal, kita tinggal substitusikan hasil terakhir diatas ke persamaan

\frac{D}{Dt}(dv)=\frac{1}{J}\frac{DJ}{Dt}dv=div \overrightarrow{V}dv

Cheers 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] sekarang kita mau cari taw berapa besar perubahan volume menurut waktu, berarti kita cukup cari turunan Jacobian terhadap waktu yang sudah dilakukan di postingan ini. Hasilnya […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: