Di posting sebelumnya mengenai Jacobian, kita sudah bicara mengenai apa yang dimaksud dengan Jacobian, yang tidak lain dan tidak bukan adalah determinan dari tensor transformasi . Dimana nilai Jacobian menggambarkan besarnya perubahan volume.
Di tulisan ini, saya akan menurunkan volume elementer terhadap waktu, untuk mencari besarnya laju perubahan dari volume. Ini adalah potongan puzzle terakhir yang diperlukan untuk menghitung hukum kekekalan massa.
Kita mulai dari hubungan volume di kondisi akhir dan kondisi initial:
Sekarang kita turunkan persamaan diatas menurut waktu:
Karena merupakan nilai volume elementer di posisi awal, nilainya konstan, sehingga hanya
yang bergantung terhadap waktu
Karena hanya yang bergantung terhadap waktu, maka kunci penyelesaian masalah ini tergantung dari bagaimana kita dapat menyelesaikan
Trik penyelesaian masalah ini adalah dengan menjabarkan Jacobian dalam bentuk indeksial (dalam bentuk notasi Einstein yang sudah ditulis secara singkat sebelumnya). Kita review dahulu mengenai perkalian tensor dan simbol Levi-Civita.
Perkalian tensor dalam notasi Einstein
Agar tidak bingung, kita ambil contoh sederhana, kalikan tensor orde-1 dengan
dan tensor orde-2
dengan
, apa yang akan dihasilkan ? Mudah sekali, tentu kita akan mendapatkan suatu vektor kan, contohnya sebagai berikut :
Kalau kita buat dalam bentuk notasi Einstein, maka akan menjadi
Disini dengan mudah dapat kita simpulkan, indeks yang berulang pada notasi Einstein, akan hilang saat dikalikan !! Silahkan buktikan pada perkalian2 lainnya yang lebih kompleks.
Jacobian dan simbol Levi-Civita
Simbol ini sempat kita singgung secara singkat di tulisan mengenai pengenalan singkat beberapa notasi penting. Seperti sudah diketahui sebelumnya, simbol Levi-Civita merupakan tensor orde-3 yang dalam bentuk notasi Einstein dapat ditulis
Dengan menggunakan simbol ini, maka Jacobian dapat ditulis dalam bentuk indeksial menjadi :
Perhatikan bahwa indeks masing-masing muncul 2x dalam persamaan diatas, sehingga jelas bahwa perkalian indeksial tersebut akan menghasilkan skalar.
Perlu diingat bahwa , ketiganya bukan tensor orde-2, ketiganya merupakan vektor !!!
Turunan Jacobian terhadap waktu
Sekarang kita siap untuk menurunkan Jacobian terhadap waktu !!
Kita tahu bahwa simbol Levi-Civita merupakan konstanta, sedangkan ketiga vektor lainnya
(yang merupakan bagian dari tensor transformasi) bergantung terhadap waktu, sehingga disini kita harus melakukan turunan parsial
Jadi problem yang kita miliki telah direduksi dari penurunan Jacobian terhadap waktu, menjadi turunan tensor transformasi terhadap waktu. Untung saja penurunan tensor transformasi terhadap waktu sangatlah mudah. Pertama-tama ingat definisi tensor transformasi
Kemudian jabarkan penurunan tensor transformasi terhadap waktu
Karena turunan parsial disebut dengan gradien dan perubahan posisi waktu sudah kita kenal sebagai kecepatan. Maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi
Sekarang tinggal mensubstitusi informasi ini ke persamaan sebelumnya
Kalo kita lihat persamaan ini, banyak kemiripan dengan persamaan ini kan
Jadi ?? Yuupp, sederhana saja, jadi ternyata persamaan yang panjang diatas itu sebenernya penjumlahan determinan2 !! Naahhm sekarang kita jabarkan persamaan tersebut dalam bentuk matriks
Masih inget donk isi posting sebelumnya yang menjabarkan Jacobian, sekarang dipake nih disini :
Persamaan sebelumnya dapat kita sederhanakan dengan memfaktorkan Jacobian-nya, sehingga menjadi :
Nah dari sini tinggal hitung determinannya, mudah sekali kan menghitungnya karena banyak angka nol-nya disitu
Lihat kan disebelah kanan, kita punya vektor yang sekarang menjadi skalar, itu kan divergennya !! (kalo lupa baca lagi postingan yang ini). Jadi :
Ini merupakan properti penting yang akan sering digunakan nantinya, meskipun penurunannya panjang, namun ternyata hasil akhirnya sangat sederhana 😎
Hasil turunan terhadap waktu pada volume elementer
Kembali ke judul tulisan diawal, kita tinggal substitusikan hasil terakhir diatas ke persamaan
Cheers 😎
[…] Turunan Terhadap Waktu Pada Volume Elementer […]