Aplikasi Hukum Kekekalan Massa Pada Aliran Kompresibel & Non-Kompresibel

Hukum kekekalan massa yang dibahas pada postingan lalu masih menyisakan sedikit kegalauan. Bagaimana tidak, didalam persamaannya dapat kita temukan divergensi dari kecepatan. 🙄

Berikut hukum kekekalan massa yang sudah kita hitung sebelumnya:

\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})=0

Apa sih interpretasi fisik dari persamaan ini ? Saya ambil contoh paling sederhana, yaitu aliran udara dan air di suatu pipa.

Aliran udara (=fluida yang dapat terkompresi) pada pipa

Dibawah ini merupakan gambar potongan suatu pipa, yang mana pada suatu bagian di pipa tersebut, penampang pipanya mengecil.

Aliran fluida pada pipa

Densitas dari fluida yang mengalir adalah \rho(\overrightarrow{x},t). Sehingga menggunakan persamaan kekekalan massa diatas dapat kita tuliskan persamaan kontinum dari sistem diatas sbb :

\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})=0

Bagian pertama dari persamaan tersebut \frac{\partial \rho}{\partial t} menyatakan besarnya perubahan massa didalam sistem.

Sedangkan bagian kedua div(\rho v) menjabarkan tentang fluktuasi fluida yang masuk ke dalam dan keluar dari sistem.

Persamaan ini sangat menarik karena ini memungkinkan terjadinya perubahan kerapatan pada fluida (misalnya pada udara), namun kesetimbangan tetap dapat dicapai dengan perubahan jumlah fluida yang masuk dan keluar.

Tidak percaya bahwa udara merupakan fluida yang dapat terkompresi ? Ada satu foto yang bagus dari wikipedia yang dapat kita lihat dibawah ini.

compressible-fluid-example

Kompresi akibat perbedaan tekanan atmosfer

Gambar diatas menunjukkan benda uji pada eksperimen ini, sebuah botol kosong bekas minuman. Pada gambar paling kiri, botol kosong tersebut ditutup di ketinggian 4300 m diatas permukaan laut (di gunung), kemudian botol tersebut dibawah turun, pada gambar kedua di 2700 m diatas permukaan laut (di kaki gunung), dan gambar ketiga di 300 m diatas permukaan laut. Lihat bedanya !

Dapat kita lihat bahwa, tekanan udara semakin besar di tempat yang semakin rendah. Akibatnya botol tersebut menjadi remuk hanya ditekan oleh tekanan atmosfer !! :mrgreen: Jadi disini cukup jelas kalau udara memang dapat terkompresi.

Aliran air (=fluida yang diasumsikan tidak terkompresi) pada pipa

Untuk fluida air, kita asumsikan bahwa densitas fluida yang mengalir tidak dapat terkompresi, maksudnya tidak berubah kerapatannya. Pada kenyataannya ini tidak benar, karena densitas fluida berbeda-beda di tiap titik, semakin rapat dikedalaman yang semakin dalam.

Contohnya di Palung Mariana yang berkedalaman hampir 11 km. Perbandingannya, 100 liter air di permukaan laut, setara dengan kira2 95 liter air saja di dasar Palung Mariana !! 😯

Nah untuk kasus yang normal2, misalnya di permukaan bumi, air relatif tidak terkompresi, makanya seringkali kita asumsikan nilai densitas air konstan. Dengan asumsi ini, maka :

\rho(\overrightarrow{x},t) = \rho_0 = konstanta

Akibatnya, hukum kekekalan massanya dapat direduksi sbb :

\frac{\partial \rho_0}{\partial t}+div(\rho_0 \overrightarrow{V})=0

0+(\rho_0 div \overrightarrow{V} + \overrightarrow{grad}\text{ }\rho_0 .\overrightarrow{V})=0

0+\rho_0 div\overrightarrow{V}+0=0

div\overrightarrow{V}=0

Untuk kasus fluida yang tidak dapat terkompresi, hukum kekekalan massanya akhirnya dapat tereduksi menjadi persamaan sederhana diatas div\overrightarrow{V}=0

Jangan lupa, fluida yang non-kompresibel ini tetap dapat berubah bentuk, hanya saja volumenya konstan.

Eittss, kenapa volumenya konstan ? Disitu kan gada hubungannya sama sekali dengan besaran volume ?!! 🙄

Ada hubungannyaaaa…. 😆 Coba lihat kembali posting soal Jacobian

Disitu kan sempat diberikan hubungan soal hubungan volume di kondisi initial dan kondisi akhir kan 🙂

dv=J dv_0

Keduanya dihubungkan oleh Jacobian, sekarang kita mau cari taw berapa besar perubahan volume menurut waktu, berarti kita cukup cari turunan Jacobian terhadap waktu yang sudah dilakukan di postingan ini. Hasilnya adalah

\frac{DJ}{Dt}=Jdiv\overrightarrow{V}

Hayo, kalo div \overrightarrow{V}=0 kan berarti :

\frac{DJ}{Dt}=0

Karena tidak ada perubahan Jacobian menurut waktu, artinya memang benar, bila fluidanya tidak kompresibel, tentunya volume konstan. Enjoy !! 😛

Iklan

Trackbacks

  1. […] tersebut juga telah saya bahas lebih jauh di posting mengenai fluida yang kompresibel dan inkompresibel. Pada kasus fluida yang inkompresibel, rumus diatas dapat disederhanakan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: