Operator Laplace dan Operator Rotasi (Curl)

Mei 13, 2013 oleh Tinggalkan sebuah Komentar

Selain gradient dan divergen yang telah saya bahas secara singkat, sekarang saya tambahkan 2 operator yang akan digunakan dalam posting2 menarik selanjutnya. Masing-masing yaitu operator Laplace dan operator rotasi (curl).

Operator Laplace diambil dari nama matematikawan dan ahli astronomi Prancis, Pierre-Simon Laplace yang pertama kali menggunakan operator ini untuk studi benda2 langit. Sedangkan operator Curl merupakan nama yang diberikan oleh fisikawan Skotlandia James Clerk Maxwell.

laplace-maxwell

Operator Laplace

Operator Laplace sebenarnya adalah divergen dari gradien dari suatu fungsi. Operator ini dilambangkan dengan \Delta atau kadang ditulis juga \nabla^2

Hal ini disebabkan karena sebenarnya \nabla merupakan lambang yang umum digunakan untuk divergen div(\overrightarrow{G})=\nabla.\overrightarrow{G} maupun gradien \overline{grad}F=\nabla F. Untuk menghindari kebingungan, saya sengaja tidak gunakan lambang ini.

Disini kita akan cari laplacian dari fungsi F dalam variabel x,y,z pada koordinat kartesian. Sesuai definisinya, pertama-tama kita hitung gradien dari fungsi tersebut:

\overline{grad} F=\frac{\partial F}{\partial x_i}=\begin{pmatrix}e_1 \frac{\partial}{\partial x_1}+e_2 \frac{\partial}{\partial x_2}+e_3\frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}F\end{pmatrix}

\overline{grad} F= \frac{\partial F}{\partial x_1}e_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}e_2+\frac{\partial F}{\partial x_3}e_3

Sekarang kita cari divergen dari \overline{grad} F

\Delta F=div(\overline{grad} F)=\begin{pmatrix}e_1\frac{\partial}{\partial x_1}+e_2\frac{\partial}{\partial x_2}+e_3\frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} (\frac{\partial F}{\partial x_1}e_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}e_2+\frac{\partial F}{\partial x_3}e_3)

\Delta F=\begin{pmatrix}e_1\frac{\partial}{\partial x_1}+e_2\frac{\partial}{\partial x_2}+e_3\frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} (\frac{\partial F}{\partial x_1}e_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}e_2+\frac{\partial F}{\partial x_3}e_3)

\Delta F=e_1.\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}e_1+e_2.\frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}e_2+e_3.\frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}e_3

\Delta F=\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}

Well done, ini yang disebut laplacian dari fungsi F.

Pertanyaannya… Apa gunanya laplacian ? 😆

Sebenarnya ada banyak fungsinya, misalnya di kasus plane stress atau plane strain, lambang ini digunakan didepan fungsi tegangan Airy. Namun untuk fungsi tegangan Airy sendiri tidak akan dibahas di posting kali ini :mrgreen:

Operator Curl

Operator kedua yang akan dibahas adalah operator Curl, atau dikenal juga sebagai operator rotasi.

Ada beberapa lambang/operator yang umum digunakan untuk curl, bila kita memiliki fungsi F dalam variabel x,y,z pada koordinat kartesian, maka curl dari fungsi F dapat ditulis \overrightarrow{rot}F atau \nabla \times F atau \nabla \wedge F.

Rotational atau Curl sesuai namanya, ia menggambarkan arah rotasi dari suatu fungsi.

Ambil satu contoh, untuk memudahkan saya ambil satu contoh dari wikipedia yang saya kira sangat mudah dipahami. Misalnya kita punya suatu fungsi F(x,y,z)=y\overrightarrow{x}-x\overrightarrow{y}

Bila kita punya sekumpulan titik, dan kita cari vektornya, maka kita peroleh :

  • Titik F(1,1,0)= \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}
  • Titik F(2,1,0)= \overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y}
  • Titik F(1,-2,0)= -2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}
  • dst…

Hasil plot dari titik-titik tersebut digambarkan pada gambar dibawah ini.

curl-example

Plot fungsi F(x,y,z)

Sumbu z positif keluar bidang dan sumbu z negatif menembus bidang. Bila kita gunakan kaidah tangan kanan, dapat dengan mudah kita tebak bahwa rotasi fungsi ini adalah menembus bidang. Sekarang kita cek, apakah memang benar ?!!

\nabla \times F = \begin{Bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}\end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}{y}\\{-x}\\{0}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}{0}\\{0}\\{\frac{\partial}{\partial x}(-x)-\frac{\partial}{\partial y}(y)}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}{0}\\{0}\\{-2}\end{Bmatrix}

Dalam kasus ini, besarnya rotasi pada semua titik, nilainya konstan sebesar -2\overrightarrow{z}. Untuk contoh2 lainnya, bisa googling atau mengulik di wikipedia yee :mrgreen:

Filed Under: Mekanika Kontinum
«
»

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: