Introduksi Tensor Tegangan Cauchy (1)

Beberapa minggu lalu saya sempat menulis tentang deformasi, sekarang setelah baru saja membahas mengenai persamaan dinamik, maka kita sudah siap bicara lebih jauh mengenai tegangan atau stress. Karena pembicaraan mengenai tegangan cukup panjang, saya akan membagi tulisan ini dalam beberapa bagian:

Tegangan merupakan gaya dalam yang bekerja pada suatu material. Tegangan yang terjadi pada material itu dapat berupa tegangan aksial, tegangan geser, atau kombinasinya. Gaya dalam dan tegangan yang bekerja di material merupakan respon dari gaya luar yang diberikan.

Untuk pembebanan satu-dimensi, intensitas tegangan tersebut dapat dihitung dengan formula sederhana berikut:

\overrightarrow{T} = \frac{\overrightarrow{F}}{A}

Dimana \overrightarrow{T} adalah tegangan, \overrightarrow{F} adalah gaya, sedangkan A adalah suatu luas tampang material.

Mengenal tensor Cauchy dan mengapa memerlukannya

Misalkan kita miliki sebuah titik, sebuah elemen kecil yang merupakan bagian dari sistem suatu benda padat.

Bila kita bekerja dalam sistem sumbu kartesian, maka tegangannya adalah seperti gambar dibawah ini :

tensor-orde-2

Elemen solid dapat menggunakan notasi tensor

Kubus diatas memiliki 3 buah tegangan pada setiap permukaannya, 1 tegangan aksial dan 2 tegangan geser. Karena tegangan yang terjadi selalu berpasangan, sehingga pada kubus kita memiliki 9 buah variabel tegangan. (Cat : nanti kita akan buktikan pula simetrisitas tensor tegangan sehingga tensor tegangan praktis hanya memiliki 6 variabel).

Bagaimana caranya kita harus mendefinisikan kondisi tegangan pada suatu elemen material ? Bila satu titik elemen saja memerlukan 9 buah variabel tegangan, bayangkan kerepotan menuliskan kesembilan variabel tersebut.

Untuk itulah maka digunakan apa yang disebut teori tegangan Cauchy, dengan produknya tensor tegangan Cauchy \sigma_{ij}. Hubungan tegangan T dan tensor tegangan Cauchy dituliskan sbb :

\overrightarrow{T}=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}

Persamaan ini menyatakan bahwa, dengan mengetahui tensor tegangan Cauchy \sigma, maka suatu tegangan \overrightarrow{T} yang terjadi pada suatu arah tertentu \overrightarrow{n} dapat dihitung dengan persamaan tersebut. Ini berarti, tensor tegangan haruslah independen terhadap \overrightarrow{n}.

Prinsip tegangan Euler-Cauchy

Sebelum membuktikan tensor tegangan Cauchy, saya ulas sedikit apa yang disebut prinsip tegangan Euler-Cauchy.

Prinsip ini menjelaskan tentang hubungan tegangan luar dan tegangan dalam pada suatu elemen sistem. Pengertiannya serupa dengan hukum Newton ketiga tentang aksi reaksi, namun ini berlaku bukan pada sistem secara global, namun pada permukaan internal sistem.

Skematisasi Partisi Material

Skematisasi Partisi Material

Misalkan kita punya suatu benda seperti pada gambar dibawah ini. Kemudian sebuah bidang \Pi memotong benda tersebut. Luasan bidang yang terpotong adalah \Sigma dengan vektor normal dari bidang tersebut \overrightarrow{N}, sedangkan vektor normal dari permukaan luar benda adalah \overrightarrow{n}. Luas permukaan luar dari kedua bagian belahan benda tersebut masing-masing adalah S_1 dan S_2 serta luas totalnya S=S_1 \cup S_2.

Pertama-tama kita ambil hukum gerak Newton untuk kondisi dinamik dan ubah bentuknya sbb :

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

\int \rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

\int \overrightarrow{T}dA=\int \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

Sekarang kita cari kondisi kesetimbangan untuk ketiga kondisi :

1. Kesetimbangan global

\int_S \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA=\int_{D} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

2. Kesetimbangan pada potongan 1

\int_{S_1}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA+\int_{\Sigma}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{N})dA=\int_{D_1} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

3. Kesetimbangan pada potongan 2

\int_{S_2}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA+\int_{\Sigma}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{N})dA=\int_{D_2} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

Kemudian kita ketahui pula bahwa

\int_{D} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv=\int_{D_1} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv+\int_{D_2} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

\int_S \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA=\int_{S_1}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA+\int_{S_2}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})dA

Sehingga bila kita jumlahkan persamaan kesetimbangan potongan pertama dan kedua dan mensubstitusi persamaan kesetimbangan global pada persamaan penjumlahan tersebut, maka kita peroleh

\int_{\Sigma}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{N})dA+\int_{\Sigma}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{-N})dA=0

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{N})=-\overrightarrow{T}(\overrightarrow{-N})

Persamaan ini membuktikan hal penting, yaitu adanya kesetimbangan pada benda secara global maupun pada elemen parsialnya

Kesetimbangan akan dicapai bila ada hubungan aksi-reaksi tegangan yang besarnya sama namun berlawanan arah pada seluruh bagian internal dari benda tersebut. Hal ini merupakan bentuk ekspresi hukum Newton ketiga dalam bentuk lokal di internal material.

Bersambung ke bagian dua yee… and CMIIW 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] Pada posting sebelumnya saya telah banyak membahas tentang tensor tegangan. […]

  2. […] uji konsolidasinya terletak pada komponen tegangan yang diberikan. Untuk itu perlu diketahui bahwa tensor tegangan Cauchy (tegangan total) dapat dibagi menjadi 2 komponen, yaitu tegangan kompresi dan tegangan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: