Eksistensi Tensor Tegangan Cauchy (2)

Tulisan ini adalah tulisan kedua dari rangkaian tulisan mengenai tensor tegangan Cauchy berikut:

Pada tulisan ini, eksistensi tensor tegangan Cauchy akan dibuktikan menggunakan tetrahedron Cauchy.

Tetrahedron Cauchy

Tetrahedron Cauchy

Tetrahedron Cauchy

1. Definisi model tetrahedron Cauchy

Untuk membuktikan tensor tegangan Cauchy, kita gunakan tetrahedron Cauchy. Tetrahedron tersebut berbentuk seperti limas segitiga, ketiga sisi limas berada pada bidang yang ortogonal satu sama lain dengan vektor basisnya e_i, sedangkan satu bidang lainnya memotong ketiga bidang yang saling ortogonal tersebut.

Luas dari masing-masing bidang yang saling ortogonal tersebut adalah A_i. Sedangkan luas bidang yang memotong ketiga bidang tersebut adalah A_0.

Vektor \overrightarrow{N} adalah vektor normal dari bidang A_0 yang kolinear dengan dengan vektor \overrightarrow{MH} dimana \overrightarrow{MH}=h\overrightarrow{N}

Beban luarnya adalah tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}) pada arah sembarang \overrightarrow{q} di bidang A_0, dimana tegangan luar ini direspon oleh tegangan dalam T(-\overrightarrow{e}_p) pada arah sembarang -\overrightarrow{e}_p yang ortogonal satu sama lain.

Tujuan utama dari penggunaan model tetrahedron ini adalah membuktikan adanya hubungan linear antara \overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}) dan \overrightarrow{N}

2. Penyelesaian

Dalam mencari solusinya, pertama-tama tentunya kita tuliskan persamaan kesetimbangan gerak dinamik :

\int \overrightarrow{T}dA=\int \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

Karena kita telah membuktikan hubungan tegangan luar dan tegangan dalam melalui prinsip tegangan Euler-Cauchy, maka kita sudah yakin bahwa kita dapat menjabarkan hubungan tegangan dari luar dan reaksi tegangan dalam di internal material.

Selain itu kita proyeksikan juga tegangan luar T(\overrightarrow{q}) dan tegangan dalam T(-\overrightarrow{e}_p) ke vektor basis e_i.

\int_{S_0} \overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}dA+\sum\limits_{p=1}^{3} \int_{S_p}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})dA =\int \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})dv

Pada persamaan diatas,S_0 adalah permukaan dimana tegangan aksi bekerja, sedangkan S_p adalah permukaan dimana tegangan reaksi bekerja.

Selanjutnya, volume limas segitiga dapat dihitung sebagai berikut :

\int dv=\frac{1}{3}(A_{0}h)

Maka persamaan dinamiknya dapat dihitung sbb :

\int_{S_0} \overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}dA+\sum\limits_{p=1}^{3} \int_{S_p}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})dA =\frac{1}{3}(A_{0}h) \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})

Hitung integral luasnya, sehingga diperoleh :

A_{0}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}).\overrightarrow{e}_{i}+\sum\limits_{p=1}^{3} A_{p}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})=\frac{1}{3}(A_{0}h) \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})

Karena bidang A_p merupakan proyeksi dari bidang A_0, dan besarnya adalah

A_p=\overrightarrow{N}A_{0}.e_p

A_p=\overrightarrow{N}A_0.e_1+\overrightarrow{N}A_0.e_2+\overrightarrow{N}A_0.e_1

A_p=N_1 A_0+N_2 A_0+N_3 A_0

A_p=N_p A_0

Sehingga persamaan kesetimbangannya menjadi :

A_{0}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}+\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}A_{0}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})=\frac{1}{3}(A_{0}h) \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}+\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})=\frac{h}{3} \rho (\overrightarrow{\gamma}-\overrightarrow{f})

Bila panjang h amatlah kecil dan mendekati 0, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}+\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}\overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})=0

Kemudian kita juga tahu bahwa \overrightarrow{T}(-\overrightarrow{e}_p)=-\overrightarrow{T}(\overrightarrow{e}_p), maka

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}-\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})=0

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}).\overrightarrow{e}_{i}=\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{e}_p).(\overrightarrow{e}_{i})

Persamaan ini menyatakan bahwa ada kesetimbangan tegangan pada masing-masing arah vektor basisnya. Dalam bentuk yang lebih umum, tanpa proyeksi pada vektor basis, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{q})=\sum\limits_{p=1}^{3} N_{p}\overrightarrow{T}(\overrightarrow{e}_p)

Persamaan tersebut menjelaskan bahwa ada hubungan linear antara \overrightarrow{T}(\overrightarrow{q}) dan N_{p}. Keduanya dihubungkan oleh suatu tensor yang disebut tensor tegangan Cauchy.

T_{q}=\sigma_{qp}N_{p} dengan p=q=[1,3]

Bila kita jabarkan, maka persamaan diatas dapat ditulis :

T_{1}=\sigma_{11}N_{1}+\sigma_{12}N_{2}+\sigma_{13}N_{3}

T_{2}=\sigma_{21}N_{1}+\sigma_{22}N_{2}+\sigma_{23}N_{3}

T_{3}=\sigma_{31}N_{1}+\sigma_{32}N_{2}+\sigma_{33}N_{3}

Atau dalam bentuk matriks :

\begin{Bmatrix}T_{1}\\T_{2}\\T_{3}\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}N_{1}\\N_{2}\\N_{3}\end{Bmatrix}

Dengan menggunakan tensor tegangan Cauchy, maka besarnya tegangan \overrightarrow{T} untuk orientasi \overrightarrow{N} sembarang, akan dapat dihitung dengan mudah.

Bersambung ke bagian tiga… 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] Hukum Gerak Newton Dalam Kondisi Statik & Dinamik Eksistensi Tensor Tegangan Cauchy (2) […]

  2. […] postingan yang lalu saya sudah membahas bahwa tegangan pada suatu arah tertentu dapat dihitung dari tensor […]

  3. […] Hubungan tegangan dan tensor tegangan untuk orientasi sembarang adalah sbb : […]

  4. […] kita tahu adanya tensor tegangan Cauchy dimana vektor tegangan dapat didefinisikan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: