Eksistensi Tensor Tegangan Cauchy (2)

Tulisan ini adalah tulisan kedua dari rangkaian tulisan mengenai tensor tegangan Cauchy berikut:

• Introduksi tensor tegangan Cauchy
• Membuktikan eksistensi tensor tegangan Cauchy
• Simetrisitas dari tensor tegangan Cauchy
• Tegangan isotrop (spherical part) dan deviatorik serta invariannya

Pada tulisan ini, eksistensi tensor tegangan Cauchy akan dibuktikan menggunakan tetrahedron Cauchy.

Tetrahedron Cauchy

Tetrahedron Cauchy

1. Definisi model tetrahedron Cauchy

Untuk membuktikan tensor tegangan Cauchy, kita gunakan tetrahedron Cauchy. Tetrahedron tersebut berbentuk seperti limas segitiga, ketiga sisi limas berada pada bidang yang ortogonal satu sama lain dengan vektor basisnya , sedangkan satu bidang lainnya memotong ketiga bidang yang saling ortogonal tersebut.

Luas dari masing-masing bidang yang saling ortogonal tersebut adalah . Sedangkan luas bidang yang memotong ketiga bidang tersebut adalah .

Vektor adalah vektor normal dari bidang yang kolinear dengan dengan vektor dimana

Beban luarnya adalah tegangan pada arah sembarang di bidang , dimana tegangan luar ini direspon oleh tegangan dalam pada arah sembarang yang ortogonal satu sama lain.

Tujuan utama dari penggunaan model tetrahedron ini adalah membuktikan adanya hubungan linear antara dan

2. Penyelesaian

Dalam mencari solusinya, pertama-tama tentunya kita tuliskan persamaan kesetimbangan gerak dinamik :

Karena kita telah membuktikan hubungan tegangan luar dan tegangan dalam melalui prinsip tegangan Euler-Cauchy, maka kita sudah yakin bahwa kita dapat menjabarkan hubungan tegangan dari luar dan reaksi tegangan dalam di internal material.

Selain itu kita proyeksikan juga tegangan luar  dan tegangan dalam ke vektor basis .

Pada persamaan diatas, adalah permukaan dimana tegangan aksi bekerja, sedangkan adalah permukaan dimana tegangan reaksi bekerja.

Selanjutnya, volume limas segitiga dapat dihitung sebagai berikut :

Maka persamaan dinamiknya dapat dihitung sbb :

Hitung integral luasnya, sehingga diperoleh :

Karena bidang  merupakan proyeksi dari bidang , dan besarnya adalah

Sehingga persamaan kesetimbangannya menjadi :

Bila panjang amatlah kecil dan mendekati , maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

Kemudian kita juga tahu bahwa , maka

Persamaan ini menyatakan bahwa ada kesetimbangan tegangan pada masing-masing arah vektor basisnya. Dalam bentuk yang lebih umum, tanpa proyeksi pada vektor basis, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

Persamaan tersebut menjelaskan bahwa ada hubungan linear antara dan . Keduanya dihubungkan oleh suatu tensor yang disebut tensor tegangan Cauchy.

dengan

Bila kita jabarkan, maka persamaan diatas dapat ditulis :

Atau dalam bentuk matriks :

Dengan menggunakan tensor tegangan Cauchy, maka besarnya tegangan untuk orientasi sembarang, akan dapat dihitung dengan mudah.

Bersambung ke bagian tiga… 😎