Simetrisitas Tensor Tegangan (3)

Tulisan ini adalah tulisan ketiga dari rangkaian tulisan mengenai tensor tegangan Cauchy berikut:

Setelah pada bagian bagian pertama, kita mengenal prinsip Euler-Cauchy yang menjelaskan tentang hubungan aksi reaksi tegangan di internal material yang menjamin kesetimbangan gaya pada partisi sebuah sistem, dilanjutkan dengan bagian kedua yang membuktikan eksistensi tegangan Cauchy melalui tetrahedron Cauchy.

Pada bagian ini saya akan membahas mengenai properti penting dari tensor tegangan, yaitu simetrisitas.

Simetri di sumbu x pada formula Mandelbrot

Simetri di sumbu x pada fractal dengan formula Mandelbrot

Intermezzo sedikit, pernah melihat gambar diatas ? Mungkin sudah sering ya, karena akhir-akhir sudah banyak gambar-gambar yang menggunakan fractal art. Gambar diatas merupakan gambar fractal yang dibuat dengan formula Mandelbrot (Mandelbrot’s set).

Mandelbrot adalah nama dari matematikawan yang lahir di Polandia dan dididik di Prancis, ia lulus dari sekolah preparatoire di lyon, nyambung ke Ecole Polytechnique πŸ™„ lalu master di Caltech dan menyelesaikan doktoralnya di University of Paris.

Hal yang ingin saya tunjukkan adalah bahwa pada sebuah objek yang simetri, tidak perduli seberapapun rumitnya, objek tersebut akan memiliki properti yang sama antara dua partisi objek yang dipisahkan sumbu simetrinya. Oooppss, thats it, kita ga akan bicara soal fractal di posting ini

Kembali ke simetri tensor tegangan, seperti yang kita sudah lihat di postingan sebelumnya, tensor tegangan memiliki sembilan buah variabel. Bila tensor tegangan adalah tensor yang simetris, variabel yang dimiliki tensor ini akan berkurang dari 9 variabel menjadi hanya 6 variabel, karena :

\sigma_{12}=\sigma_{21}

\sigma_{13}=\sigma_{31}

\sigma_{23}=\sigma_{32}

Sehingga :

\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\dots&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\dots&\dots&\sigma_{33}\end{bmatrix}

Sekarang pertanyaannya… Bagaimana membuktikan bahwa tensor tegangan Cauchy itu adalah tensor yang simetrik ?

Review Hukum kekekalan momentum

Sekarang kita ingat-ingat, dari penurunan hukum gerak Newton untuk kondisi dinamik, ada berapa persamaan yang kita punya ? Dua kan !! Persamaan pertama adalah persamaan kesetimbangan gaya (hukum kekekalan momentum), sedangkan persamaan kedua adalah persamaan kesetimbangan momen (hukum kekekalan momen dari momentum).

Hukum kekekalan momentumnya adalah sbb :

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

Menggunakan hubungan tegangan dan tensor tegangan yang diturunkan di bagian sebelumnya T_{q}=\sigma_{qp}N_{p} dengan p=q=[1,3], sekarang kita dapat mengubah persamaan diatas menjadi

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

Menggunakan teori divergensi, kita dapat mengubah terms pertama dari bagian kanan persamaan diatas dari integral luas menjadi dalam bentuk integral volume

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}dv+\int \rho \overrightarrow{f}dv

Karena telah dalam bentuk integral volume semua, maka kita dapat sederhanakan :

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\rho \overrightarrow{f}

\rho\overrightarrow{\gamma}=\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\rho \overrightarrow{f}

Sebelumnya, dalam penurunan rumus tensor tegangan (pada bagian kedua tulisan ini), kita hanya mengaplikasikan hukum kekekalan momentum saja.

Apa yang terjadi, bila kita aplikasikan juga hukum kekekalan momen dari momentum ?Β Nah ini dia menu utama tulisan ini… selamat menikmati pembuktiannya πŸ˜†

Simetri dari tensor tegangan Cauchy

Pertama-tama tentunya kita dapat tuliskan persamaan kesetimbangan momen alias hukum kekekalan momen dari momentum dengan menggunakan hukum kekekalan momentum diatas, cukup dengan mengalikan sebuah vektor \overrightarrow{OM} yang berlaku pada seluruh titik dari material dari titik tinjauan

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int (\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}})dv+\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{f}dv

Namun kalau kita gunakan dalam bentuk awalnya yang kita dapatkan dari penurunan sebelumnya di posting tentang hukum gerak, maka seharusnya persamaan diatas akan sama dengan persamaan berikut

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int \overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n})dA+\int \overrightarrow{OM}\times\rho \overrightarrow{f}dv

Perbedaan dari kedua persamaan tersebut hanya pada terms pertama dari bagian kanan persamaan diatas, oleh karena itu kita akan fokuskan untuk menyederhanakan bagian tersebut. Pertama-tama dengan menyederhanakan persamaan dibawah ini :

\overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n})

Persamaan diatas adalah cross product dari dua buah vektor, produknya adalah sebuah vektor, misalnya kita beri nama vektor \overrightarrow{W}. Sebuah vektor, seperti kita ketahui, dapat ditransformasi dengan bantuan sebuah tensor.

Ambil contoh bahwa untuk vektor \overrightarrow{n}, maka vektor dari produk vektorial tersebut, hasilnya dapat diperoleh melalui tensor \overline{\overline{N}}. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis

\overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n})=\overrightarrow{W}=\overline{\overline{N}}\overrightarrow{n}

Sehingga bagian persamaan tersebut dapat diubah dengan bantuan teori divergensi menjadi sbb :

\int \overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n})dA=\int (\overline{\overline{N}} \overrightarrow{n})dA=\int \overrightarrow{div}(\overline{\overline{N}})dv

Kini untuk mencari divergensi dari tensor \overline{\overline{N}}, kita harus menggunakan bentuk indeksial. Untuk memulai tentunya kita harus jabarkan cross product persamaan diatas dalam bentuk indeksial (kalau mau baca lebih jauh soal Einstein notation bisa baca di wikipedia).

\overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n})=\epsilon_{ipq}x_{p}\sigma_{qr}n_{r}

Penulisan dalam bentuk indeksial diatas menggunakan bantuan simbol \epsilon_{ipq}. Ini merupakan simbol yang digunakan untuk produk vektorial bila ingin ditulis dalam bentuk indeksial. Kemudian untuk memudahkan, vektor \overrightarrow{OM} ditulis dalam bentuk indeksial x_p

Bila kita perhatikan persamaan tersebut, hanya indeks i yang tidak berulang, ini berarti persamaan tersebut hanya ber-orde 1, yaitu vektor, sesuai dengan apa yang kita harapkan. Dengan mendefinisikan tensor \overline{\overline{N}} maka persamaan tersebut menjadi

\overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n})=N_{ir}n_{r}

Maka divergensi dari tensor \overline{\overline{N}} dapat diturunkan sebagai berikut :

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\frac{\partial N_{ir}}{\partial x_r}=\frac{\partial (\epsilon_{ipq}x_{p}\sigma_{qr})}{\partial x_r}

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\epsilon_{ipq}\frac{\partial (x_{p}\sigma_{qr})}{\partial x_r}+x_{p}(\frac{\partial (\epsilon_{ipq}\sigma_{qr})}{\partial x_r})+\sigma_{qr}\frac{\partial (\epsilon_{ipq}x_{p})}{\partial x_r}

Karena simbol Levi-Civita adalah konstanta, maka turunannya adalah nol, sehingga terms kedua dan ketiga dari persamaan diatas pasti nilainya nol, oleh karena itu sisanya adalah

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\epsilon_{ipq}\frac{\partial (x_{p}\sigma_{qr})}{\partial x_r}+0+0

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\epsilon_{ipq}(x_{p}\frac{\partial \sigma_{qr}}{\partial x_r}+\frac{\partial x_{p}}{\partial x_r}\sigma_{qr})

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\epsilon_{ipq}(x_{p}\frac{\partial \sigma_{qr}}{\partial x_r}+\delta_{pr}\sigma_{qr})

(\overrightarrow{div}\overline{\overline{N}})_i=\epsilon_{ipq}(x_{p}\frac{\partial \sigma_{qr}}{\partial x_r}+\sigma_{qp})

Jangan lupa bahwa \delta_{pr} adalah simbol Kronecker-delta. Sehingga akhirnya \overrightarrow{div}\overline{\overline{N}} menghasilkan 2 terms, yaitu :

  • Term 1 : \epsilon_{ipq}x_{p}\frac{\partial \sigma_{qr}}{\partial x_r}, ini dapat diterjemahkan menjadi \overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}
  • Term 2 : \epsilon_{ipq}\sigma_{qp}, persamaan ini merupakan double dot product antara tensor orde 3 dan tensor orde 2 yang menghasilkan vektor, sehingga dapat dituliskan \overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}

Maka bila dituliskan :

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int \overrightarrow{OM}\times(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n})dA+\int \overrightarrow{OM}\times\rho \overrightarrow{f}dv

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int \overrightarrow{div}(\overline{\overline{N}})dv+\int \overrightarrow{OM}\times\rho \overrightarrow{f}dv

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int (\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}})dv+\int \overrightarrow{OM}\times\rho \overrightarrow{f}dv

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int (\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}})dv+\int \overrightarrow{OM}\times\rho \overrightarrow{f}dv+\int\overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}dv

Sekarang bandingkan dengan hukum kekekalan momen dari momentum yang telah kita tuliskan diawal tadi

\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{\gamma} dv=\int (\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}})dv+\int \overrightarrow{OM}\times\rho\overrightarrow{f}dv

Kedua persamaan tersebut harusnya sama, tapi disini kita lihat bahwa ada tambahan terms \int\overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}dv pada penurunan hukum kekekalan momen dari momentum yang divergensinya diturunkan secara langsung tanpa melalui hukum kekekalan momentum. Ini berarti nilai terms tambahan tersebut harus sama dengan nol !!

\overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}=0

Apa syarat persamaan diatas sama dengan nol ?

Ya kita cek aja :mrgreen: Ubah dulu ke bentuk indeksial yang diperoleh sebelumnya agar mudah penyelesaiannya.

\overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}=\epsilon_{ipq}\sigma_{qp}

Kemudian perhatikan, disitu kita punya simbol Levi-Civita, simbol ini nilainya tidak sama dengan nol hanya jika indeksnya tidak ada yang berulang, atau dengan kata lain jika :

i \neq q

i \neq p

p \neq q

Berarti hanya ada 3 kemungkinan dimana nilai persamaan tersebut tidak sama nol, kita substitusi untuk variasi nilai i. Sekali lagi jangan lupa bahwa kita menggunakan sistem notasi Einstein, sehingga bila dijabarkan :

i=1, \epsilon_{123}\sigma_{32}+\epsilon_{132}\sigma_{23}=\sigma_{32}-\sigma_{23}=0

i=2, \epsilon_{231}\sigma_{13}+\epsilon_{213}\sigma_{31}=\sigma_{13}-\sigma_{31}=0

i=3, \epsilon_{312}\sigma_{21}+\epsilon_{321}\sigma_{12}=\sigma_{21}-\sigma_{12}=0

Nah, disini sudah bisa dilihat bahwa ada persyaratan agar \overline{\overline{\overline{\eta}}}:\overline{\overline{\sigma}}=0. Ternyata agar persamaan tersebut bernilai nol, maka tegangannya haruslah :

\sigma_{32}=\sigma_{23}

\sigma_{13}=\sigma_{31}

\sigma_{21}=\sigma_{12}

Ini adalah properti penting yang menunjukkan kesimetrisan tensor tegangan !! Sehingga kita peroleh :

\overline{\overline{\sigma}}=\overline{\overline{\sigma}}^T

\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{21}&\sigma_{31}\\\sigma_{22}&\sigma_{22}&\sigma_{32}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}\end{bmatrix}

Jadi terbukti bahwa tensor tegangan memang tensor simetris, akibat harus terpenuhinya hukum kekekalan momen dari momentum. Oleh karena itu tensor tegangan hanya mempunyai 6 variabel bebas.

Kalau sudah paham soal tensor tegangan ini, setidaknya kita sudah bercerita mengenai apa sih sebenarnya tegangan, ternyata bukan hanya sekedar gaya dibagi per satuan luas aja khan :mrgreen:

Sisanya nyambung ke bagian terakhir yo 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] Introduksi Tensor Tegangan Cauchy (1) Simetrisitas Tensor Tegangan (3) […]

  2. […] Untuk memahami posting berikut, tidak ada salahnya membaca dua potongan tulisan sebelumnya mengenai introduksi hukum gerak Newton dan review hukum kekekalan momentum. […]

  3. […] Untuk tegangan (stress), kita miliki total 9 variabel, tapi karena tensor tegangan ini simetrik, maka total hanya ada 6 variabel bebas. Kesimetrisan tensor tegangan merupakan konsekuensi dari kesetimbangan momen dari momentum. […]

  4. […] Karena kita tahu tensor tegangan adalah tensor simetrik […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: