Tegangan Spherical & Deviatorik serta Invariannya (4)

Akhirnya sampai juga ke bagian ke-empat dari seri cerita soal tensor tegangan Cauchy. Tulisan lainnya adalah sebagai berikut:

Introduksi tensor tegangan Cauchy
Membuktikan eksistensi tensor tegangan Cauchy
Simetrisitas dari tensor tegangan Cauchy
Tegangan isotrop (spherical part) dan deviatorik serta invariannya

Tekanan vs Tegangan

Pernah berpikir beda tekanan dan tegangan ? Tekanan dan tegangan memiliki satuan yang sama, yaitu gaya per satuan luas. Kalau kita pikir secara sekilas, keduanya merujuk kepada hal yang sama.

Tapi apakah tekanan dan tegangan merupakan dua istilah untuk satu hal yang sama ?

Sebelum menjawab pertanyaan diatas, kita amati terlebih dahulu sebuah balon yang sudah ditiup seperti gambar dibawah ini. Balon bisa mengembang karena tekanan udara didalam balon lebih besar dari tekanan udara di atmosfer.

Tekanan di dalam balon

Pernah berpikir kenapa kita menggunakan istilah “tekanan udara” dan bukan “tegangan udara” ? Keduanya memiliki satuan yang sama, seharusnya keduanya interchangeable donk !!

Ooopss, tidak demikian… Pada kasus tekanan, seperti tekanan udara atau tekanan didalam balon, suatu titik memiliki tegangan yang sama di segala arah. Inilah poin penting dari tekanan.

Lantas apa hubungannya cerita soal tekanan udara diatas dengan pembahasan kita kali ini ? 🙄 Sederhana saja, karena tekanan itu adalah tegangan spherical dari tensor tegangan Cauchy

Bagian spherical dan deviatorik dari tensor tegangan

Tensor tegangan Cauchy dapat didekomposisi menjadi bagian spherical dan deviatoriknya. Seperti telah disinggung sebelumnya bagian spherical merupakan tegangan, sedangkan sisanya adalah bagian deviatoriknya.

Didalam uji-uji didunia teknik sipil yang dilakukan untuk mengetahui parameter mekanik didalam material, ada uji-uji yang hanya menggunakan tegangan spherical, ada yang hanya menggunakan tegangan deviatorik, ada juga uji yang menggunakan gabungan dari keduanya. Kita lihat beberapa contohnya :

Hanya tegangan spherical : Uji hidrostatik
Hanya tegangan deviatorik : Uji tekan tak terkekang (unconfined compression test)
Gabungan keduanya : Uji triaxial (CU, CD)

Uji-uji seperti yang ditulis diatas memberikan tegangan yang homogen di semua titik di material, sehingga kita dapat dengan jelas membedakan bagian spherical dan deviatoriknya.

Misalnya untuk uji triaxial CU dan CD, keduanya diawali dengan fase konsolidasi yang mana didalam percobaan kita memberikan tegangan spherical kedalam benda uji, kemudian baru dilanjutkan dengan memberikan tegangan deviatorik.

Catatan : Tidak semua percobaan memberikan tegangan yang homogen di semua titik, misalnya seperti uji Brasilian atau uji lentur 3 titik, dsb.

Sekarang bagaimana mendekomposisi tensor tegangan kedalam tegangan spherical dan deviatoriknya ?

Caranya sederhana, kita cek berapa tegangan yang besarnya sama ke segala arah $\sigma_m$ , sisanya adalah tegangan deviatoriknya. Sehingga dapat kita tuliskan :

$\overline{\overline{\sigma}}=\sigma_{m}\overline{\overline{I}}+\overline{\overline{\sigma}}_{d}$

Dimana $\sigma_{m}$ adalah nilai rata-rata dari tegangan prinsipal

$\sigma_{m}=\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})$

Sehingga tensor tegangan deviatoriknya dapat dihitung sbb :

$\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\overline{\overline{\sigma}}-\sigma_{m}\overline{\overline{I}}$

$\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix}-\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$

$\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}(2\sigma_{11}-\sigma_{22}-\sigma_{33})&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\frac{1}{3}(-\sigma_{11}+2\sigma_{22}-\sigma_{33})&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\frac{1}{3}(-\sigma_{11}-\sigma_{22}+2\sigma_{33})\end{bmatrix}$

Setelah mengetahui perbedaan antara tegangan total, tegangan spherikal, dan tegangan deviatorik, sekarang saya akan membicarakan mengenai invarian tegangan !! 😎

Invarian tegangan Cauchy

Dengan mengetahui tensor tegangan, kita memang bisa menghitung besarnya tegangan di segala arah manapun juga di titik tersebut.

Namun tensor tegangan juga ada keterbatasannya…. Jika suatu elemen berotasi, meskipun intensitas tensor tersebut tidak berubah, maka nilai tensor tegangan akan berubah terhadap sistem sumbu global. Catatan : Proses rotasi tensor tegangan tidak saya uraikan di tulisan ini 🙂

Rotasi suatu elemen

Nah, disinilah kita harus menggunakan invarian tegangan. Sesuai namanya, invarian yang artinya tidak bervariasi, nilai invarian tegangan tetap meskipun tensor tegangan nilainya berubah saat berotasi…

Canggih kan ? 😆 Meskipun nilai tensor tegangan berubah-ubah saat berotasi, nilai invariannya tetap. Ini sangat mudah dimengerti karena sesungguhnya bila hanya berotasi, maka nilai skalar dan vektor tegangan tidak berubah pada sumbu lokalnya, hanya saja bila kita hitung nilainya menggunakan sistem sumbu global, nilainya harus berubah mengikuti rotasi elemen.

Sekarang bagaimana menghitung invarian tensor ? Invarian tensor dapat dihitung dengan cara menghitung eigen vektor dari suatu tensor tegangan.

Eigen vektor merupakan vektor-vektor yang bebas secara linear dari tensor tegangan yang ingin kita hitung. Arah dari eigen vektor menyatakan bidang prinsipal dari tensor tegangan yang kita miliki. Sedangkan intensitas dari eigen vektor dikenal sebagai eigen value $\lambda$ .

Sesuai definisi diatas, menggunakan sistem penulisan indeksial (notasi Einstein), kita dapat dekomposisi tegangan dalam normalnya sbb :

$T_{i}=\lambda n_{i}$

Kemudian ubah tegangan dalam ekspresi tensor tegangan

$\sigma_{ij}n_{j}=\lambda n_{i}$

$\sigma_{ij}n_{j}-\lambda n_{i}=0$

Sekarang tinggal faktorkan saja

$(\sigma_{ij}-\lambda \frac{n_{i}}{n_{j}})n_{j}=0$

$(\sigma_{ij}-\lambda \delta_{ij})n_{j}=0$

Jangan lupa bahwa $\delta_{ij}$ adalah lambang Kronecker-Delta yang merupakan matriks identitas. Dari persamaan diatas, vektor $n_j$ tidak mungkin bernilai $0$ , oleh karena itu bagian $(\sigma_{ij}-\lambda \delta_{ij})$ yang harus bernilai nol.

Bagian tersebut merupakan sebuah tensor, dimana cara untuk menghitung intensitas tensor adalah dengan mencari determinannya

$0=|\sigma_{ij}-\lambda \delta_{ij}|=\begin{vmatrix}\sigma_{11}-\lambda&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}-\lambda&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}-\lambda\end{vmatrix}$

$0=(\sigma_{11}-\lambda)\begin{vmatrix}\sigma_{22}-\lambda&\sigma_{23}\\\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{vmatrix}-\sigma_{12}\begin{vmatrix}\sigma_{21}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{33}-\lambda\end{vmatrix}+\sigma_{13}\begin{vmatrix}\sigma_{21}&\sigma_{22}-\lambda\\\sigma_{31}&\sigma_{32}\end{vmatrix}$

Bila persamaan diatas dihitung dan disederhanakan dalam bentuk persamaan karakteristiknya, hasil akhirnya adalah

$-\lambda^3+I_{1}\lambda^2-I_{2}\lambda+I_{3}=0$

Dimana $I_{1},I_{2},I_{3}$ adalah invarian tensor tegangan Cauchy, yang nilainya masing-masing :

$I_{1}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}$

$I_{2}=\begin{vmatrix}\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{32}&\sigma_{33}\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{13}\\\sigma_{31}&\sigma_{33}\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\\\end{vmatrix}$

$I_{2}=\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{11}\sigma_{33}-\sigma_{12}^2-\sigma_{23}^2-\sigma_{31}^2$

$I_{2}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{ii}\sigma_{jj}-\sigma_{ij}\sigma_{ji}\right)$

$I_{3}=\sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^2\sigma_{33}-\sigma_{23}^2\sigma_{11}-\sigma_{31}^2\sigma_{22}$

$I_{3}=\det(\sigma_{ij})$

Invarian tegangan deviatorik

Bila sebelumnya invarian tegangan kita tuliskan dalam tegangan totalnya, kita bisa juga tuliskan invarian dari tegangan deviatoriknya.

Caranya sama, kita harus cari invarian dari tegangan deviatorik yang telah kita tuliskan sebelumnya sebagai :

Seringkali, tensor tegangan deviatorik juga dituliskan sebagai :

$\overline{\overline{\sigma}}_{d}=s_{ij}$

Kemudian sama seperti sebelumnya, invarian tegangan adalah eigen vektor dari tensor tegangan deviatorik tersebut yang dapat dihitung sbb :

$\left| s_{ij}- \lambda\delta_{ij} \right|=0$

Detailnya tidak saya jabarkan disini, tapi hasil akhirnya juga akan membentuk persamaan karakteristik berikut :

$\lambda^3-J_1\lambda^2-J_2\lambda-J_3=0$

Hati-hati !! Persamaan karakteristik diatas untuk tensor tegangan deviatorik berbeda sedikit dengan persamaan karakteristik untuk tensor tegangan total yang ditulis

$-\lambda^3+I_{1}\lambda^2-I_{2}\lambda+I_{3}=0$

Lihat perbedaan tanda negatifnya !!

Variabel $J_{1},J_{2},J_{3}$ adalah invarian tegangan deviatoriknya yang nilainya masing-masing :

$J_1=s_{11}+s_{22}+s_{33}=0$

$J_2=\frac{1}{2}s_{ij}s_{ji}$

$J_2=\frac{1}{2}(s_1^2 + s_2^2 + s_3^2)$

$J_2=\frac{1}{6}\left[(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 \right ] + \sigma_{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2$

$J_2=\frac{1}{6}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]$

$J_2=\frac{1}{3}I_1^2-I_2$

$J_{3}=\det(s_{ij})$

$J_{3}=\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}$

$J_{3}=\frac{2}{27}I_1^3 - \tfrac{1}{3}I_1 I_2 + I_3$

Penutup

Akhirnya… Cape juga ngetiknya 🙄 Penurunan soal invarian tegangan geser diatas menutup seri diskusi soal tegangan, dengan memahami keempat tulisan soal tegangan ini, saya cukup yakin bahwa nantinya reader sudah cukup siap untuk membicarakan berbagai topik yang berkaitan dengan kriteria plastis material 😎

Comments

Kamiliyana Puteri Astuti says:

Juli 9, 2017 pukul 12:28

Pak permisi mau bertanya, beton memiliki fase plasticity damage. yang saya tau hanya materialnya bersifat plastis. bisa dijelsakan maksudnya plasticity damage pad abeton pak? itu masuk fase yang mana?

Balas
- Kamiliyana Puteri Astuti says:
  
  Juli 9, 2017 pukul 12:37
  
  kriteria plastis material untuk beton maksudnya yang mana ya pak?
  
  Balas

	Irma pada Konsolidasi – Overview
	kenny pada Rangkuman Rumus Lingkaran…
	bella pada Uji Triaksial – Fase Kom…
	Dian pada Jaring Aliran (Flownet)…
	joetomo pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	toto pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	donal pada Uji Triaksial – Unconsol…
	joetomo pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	geotechnicalfreak pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	joetomo pada Pengenalan Singkat Tensor…

Tegangan Spherical & Deviatorik serta Invariannya (4)

Comments

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Kamiliyana Puteri Astuti Batalkan balasan

Random Specimens