Pengantar Representasi Tegangan Dengan Diagram Mohr (1)

Pada posting sebelumnya saya telah banyak membahas tentang tensor tegangan.

Nah setelah memahami mengenai tegangan, saya akan mengulas soal interpretasi grafis dari tegangan atau yang lebih dikenal sebagai diagram/lingkaran Mohr.

Tulisan ini adalah bagian pertama dari rangkaian tulisan mengenai diagram Mohr. Urutan lengkap dari rangkaian tulisan ini adalah sbb:

otto-mohr

Otto Mohr

Diinspirasi oleh seorang ahli struktur bernama Carl Culmann yang mempelopori metode grafis untuk mempelajari tegangan, diagram Mohr pertama kali diperkenalkan oleh seorang mekanikawan Jerman yang bernama Otto Mohr di akhir abad ke 19.

Interpretasi grafik dari Mohr sangat membantu dalam memahami kondisi tegangan dalam material. Selain itu, diagram ini juga nantinya akan sangat bermanfaat saat mempelajari salah satu kriteria plastis dari material yang secara luas dikenal dengan nama kriteria Mohr-Coulomb. Namun di postingan kali ini, saya tidak akan membahas soal kriteria plastis ini. :mrgreen:

Komponen tegangan pada suatu permukaan

Di postingan yang lalu saya sudah membahas bahwa tegangan pada suatu arah tertentu dapat dihitung dari tensor tegangannya

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}

Sebelum saya membahas lebih jauh bagaimana bisa menghitung dan menggambar diagram Mohr. Saya akan fokus terlebih dahulu pada pemahaman mengenai vektor tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})

Saya ada satu pertanyaan : Apakah tegangan pada suatu bidang dengan normal \overrightarrow{n} hanya memiliki komponen tegangan pada arah \overrightarrow{n} saja ?

Semoga pertanyaannya ga bikin bingung ya… πŸ™„ :mrgreen:

Kalau bingung, coba lihat gambar dibawah ini. Kita miliki sebuah bidang dengan vektor normalnya \overrightarrow{n}, pertanyaannya apakah tegangan pada permukaan ini hanya terdiri dari komponen arah \overrightarrow{n} saja ?

normal-permukaan

Vektor normal suatu bidang

Untuk tahu jawabannya, kita cukup perhatikan rumus sebelumnya. Kita cukup cek pada salah satu arah pada vektor basisnya, misalnya \overrightarrow{n}_1, dimana :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_1)=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}_1

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_1)=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\overrightarrow{e}_{1}\\{0}\\{0}\end{Bmatrix}

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_1)=(\sigma_{11}\overrightarrow{e}_1\overrightarrow{e}_1).\overrightarrow{e}_1+(\sigma_{21}\overrightarrow{e}_1\overrightarrow{e}_2).\overrightarrow{e}_1+(\sigma_{31}\overrightarrow{e}_1\overrightarrow{e}_3).\overrightarrow{e}_1

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_1)=\sigma_{11}\overrightarrow{e}_1+\sigma_{21}\overrightarrow{e}_2+\sigma_{31}\overrightarrow{e}_3

Nah, diatas uda keliatan kan jawabannya, ternyata tegangan pada suatu arah \overrightarrow{n}, nilai tegangannya tidak selalu ko-linear dengan arah normal dari bidang tersebut (lihat gambar dibawah) !! Tegangan tersebut juga memiliki komponen \overrightarrow{e}_2 dan \overrightarrow{e}_3. Ini artinya pada permukaan tersebut kita juga memiliki tegangan geser !! Sehingga :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=T_{n}\overrightarrow{n}+T_{t}\overrightarrow{t}

Tegangan-permukaan

Tegangan di suatu permukaan

Tegangan geser pada pembebanan di sumbu prinsipal

Pada bagian sebelumnya kita telah mengetahui bahwa pada suatu permukaan tertentu, tegangan yang terjadi tidak selalu kolinear dengan normal dari permukaan tersebut.

Disini, sebelum menurunkan persamaan yang digunakan dalam diagram Mohr, saya ingin sekali lagi mengajukan sebuah pertanyaan : Apakah suatu problem struktur yang hanya dibebani dengan tensor tegangan prinsipal dapat menghasilkan tegangan geser ?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita lihat lagi definisi tegangan prinsipal. Tegangan prinsipal adalah tegangan yang diberikan pada salah satu atau kombinasi ketiga arah prinsipal (misalnya pada sistem sumbu kartesian, ketiga sumbu prinsipalnya adalah (x,y,z).

Pada problem yang hanya diberikan tegangan prinsipal, artinya \sigma_{12}=\sigma_{13}=\sigma_{23}=0, yang juga berarti tegangan gesernya nol pada sumbu global. Sehingga tensor tegangannya pada sumbu global adalah sbb :

\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&\sigma_{22}&{0}\\{0}&{0}&\sigma_{33}\end{bmatrix}

Saya ambil contoh sederhana : sebuah kursi kubus yang diduduki oleh sang empunya, memberikan suatu tegangan di permukaan bagian atas kursi, sehingga dimiliki tegangan yang di-idealisasi dalam gambar berikut.

Kursi Kubus

Kursi Kubus

Pembebanan di kursi

Pembebanan di kursi

Perhatikan bahwa tegangan hanya diberikan pada arah 1 saja. Catatan : kita bisa menggunakan x,y,z atau 1,2,3, disini kita menggunakan yang saya sebutkan terakhir.

Dengan pembebanan seperti demikian, maka \sigma_{22}=\sigma_{33}=0, sehingga tensor tegangannya hanya memiliki tegangan prinsipal sbb :

\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}

Karena kita sudah mempelajari soal tensor tegangan deviatorik, kita akan hitung besar tegangan deviatoriknya, apakah ada nilainya. Tegangan deviatoriknya diformulasikan sbb :

\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}(2\sigma_{11}-\sigma_{22}-\sigma_{33})&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\frac{1}{3}(-\sigma_{11}+2\sigma_{22}-\sigma_{33})&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\frac{1}{3}(-\sigma_{11}-\sigma_{22}+2\sigma_{33})\end{bmatrix}

Kemudian dengan memasukkan kondisi batas diatas kita peroleh :

\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&-\frac{1}{3}\sigma_{11}&{0}\\{0}&{0}&-\frac{1}{3}\sigma_{11}\end{bmatrix}

Nah loh, ternyata tensor tegangan deviatoriknya engga nol… πŸ™„ Ini mengindikasikan kalau tegangan gesernya tidak nol donk… Gimana ini, padahal pembebanan di arah prinsipal kan nol…

Cek dulu donk, apa bener tegangan gesernya tidak nol, coba kita hitung tegangan pada ketiga sumbu global

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_1)=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\overrightarrow{e}_{1}\\{0}\\{0}\end{Bmatrix}=\sigma_{11}\overrightarrow{e}_1

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_2)=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}{0}\\\overrightarrow{e}_{2}\\{0}\end{Bmatrix}=\overrightarrow{0}

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_3)=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}{0}\\{0}\\\overrightarrow{e}_{3}\end{Bmatrix}=\overrightarrow{0}

Bener koq tuh, ternyata di sumbu global memang cuma ada tegangan normal \sigma_{11} di arah \overrightarrow{e}_1

Apa hitungan tensor deviatoriknya ada yang salah ? :mrgreen:

Eits, ternyata dari tadi kita hanya menghitung besarnya tegangan di sumbu global, coba degh hitung tegangan yang bukan di sumbu prinsipal, misalnya tegangan yang membentuk sudut \theta dengan sumbu \overrightarrow{n}_1

sudut-arbitrari

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}_{\theta})=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\cos\theta\\{0}\\\sin\theta\end{Bmatrix}=(\cos\theta)\sigma_{11}\overrightarrow{e}_1

Pada sumbu lokal \overrightarrow{n}_{\theta}, ternyata besar tegangannya adalah (\cos\theta)\sigma_{11}\overrightarrow{e}_1

Kalau kita hitung proyeksi besar tegangan normal dan gesernya pada sumbu lokal tersebut, maka diperoleh :

tegangan-proyeksi-lokal

Proyeksi tegangan di sumbu lokal

T_{n\theta}=(\cos\theta)(\cos\theta)\sigma_{11}

T_{t\theta}=(\sin\theta)(\cos\theta)\sigma_{11}

Saya akan elaborasi lebih jauh pada posting selanjutnya mengenai masalah tegangan di sumbu lokal ini.

Namun hal penting yang dapat diambil adalah bahwa pada pembebanan di sumbu prinsipal yang menghasilkan tensor tegangan deviatorik yang tidak nol, akan menghasilkan tegangan geser nol di permukaan pada sumbu global, namun tegangan gesernya tidak nol pada sumbu lokal.

Ini merupakan poin penting yang harus dipahami, karena pembebanan pada sumbu prinsipal sering kita temui di dunia teknik sipil, misalnya pada uji kuat tekan beton atau uji triaksial.

Kedua uji tersebut hanya memberikan pembebanan pada sumbu prinsipal saja, namun seperti kita lihat diatas, pembebanan pada sumbu prinsipal juga akan menghasilkan tegangan geser pada sumbu lokalnya.

Pada kedua uji tersebut, keruntuhan bukan diakibatkan oleh tegangan tekan dari pelat penekan, melainkan akibat tegangan geser yang terjadi pada sumbu lokal benda uji.

Di bagian berikutnya kita akan lihat bersama bagaimana interpretasi grafik dari tegangan dapat dibuat/diturunkan…. 😎

Iklan

Comments

  1. Douglase says:

    Terima kasih, Pak James. Anda memotivasi saya untuk belajar.

Trackbacks

  1. […] Saya tahan dulu jawabannya, karena untuk menjawabnya saya harus mengeksplorasi lingkaran Mohr yang telah saya posting di beberapa posting terakhir […]

  2. […] Pengantar Representasi Tegangan Dengan Diagram MohrΒ (1) […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: