Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2)

Tulisan ini adalah bagian kedua dari tulisan sebelumnya mengenai diagram/lingkaran Mohr. Disini saya akan menurunkan persamaan lingkaran Mohr untuk kasus general dimana ketiga tegangan prinsipal nilainya tidak nol.

Urutan lengkap dari rangkaian tulisan tentang interpretasi grafis dari tegangan menggunakan lingkaran Mohr adalah sbb:

Pada tulisan pertama kita telah mendapat 2 poin penting soal tegangan, yaitu:

  1. Tegangan pada suatu bidang, tidak selalu kolinear dengan normal dari bidang tersebut. Komponen tegangan yang kolinear dengan normal dari bidang adalah tegangan normal T_{n}, sedangkan komponen tegangan yang tidak kolinear adalah tegangan geser T_{t}
  2. Pada suatu pembebanan dengan tegangan pada sumbu-sumbu prinsipal sistem, tanpa beban tegangan geser sama sekali, ternyata tegangan geser dapat tercipta pada sumbu lokal sistem.

Poin pertama secara eksplisit menyatakan bahwa kita dapat mendekomposisi tegangan menjadi sbb :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=T_{n}\overrightarrow{n}+T_{t}\overrightarrow{t}

Deskripsi tegangan dalam bidang Mohr

Deskripsi tegangan dalam bidang Mohr

Sedangkan poin kedua menyatakan bahwa seluruh kondisi tegangan pada sumbu/orientasi lokal elemen harus dianalisis untuk mengetahui kapan tegangannya paling maksimum.

Menurunkan persamaan lingkaran Mohr

Dengan menggunakan diagram Mohr, segala kerumitan untuk menghitung tegangan pada orientasi lokal dapat dicerna dengan mudah secara grafis.

Mohr mengusulkan untuk mem-plot kondisi tegangan didalam sumbu (T_{n},T_{t})

Prinsipnya sederhana, tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) akan didekomposisi dalam sistem sumbu diatas

Namun \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) adalah tegangan pada suatu permukaan yang nilainya tergantung pada arah orientasi sembarang \overrightarrow{n}. Padahal nilai yang kita ketahui hanyalah nilai-nilai komponen tensor tegangan pada sistem sumbu global.

Oleh karena itu tugas kita adalah menghubungkan komponen tensor tegangan yang telah diketahui dengan sistem sumbu bidang Mohr (T_{n},T_{t}) yang masing-masing adalah tegangan normal dan tegangan geser pada suatu permukaan.


Hubungan tegangan dan tensor tegangan untuk orientasi sembarang adalah sbb :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}

Besarnya tegangan normal T_n dapat dihitung dengan memproyeksikan tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) dalam arah normal bidang \overrightarrow{n}, sehingga :

T_n=\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}

T_n=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}

Bila \overrightarrow{n} dapat didekomposisi menjadi vektor-vektor basis dari sistem koordinat kartesian

\overrightarrow{n}=n_{1}\overrightarrow{e}_1+n_{2}\overrightarrow{e}_2+n_{3}\overrightarrow{e}_3

Maka besarnya tegangan normal dapat dihitung sbb :

T_n=\sigma_{11}n_1^2+\sigma_{22}n_2^2+\sigma_{33}n_3^2

Ini adalah persamaan pertama yang kita perlukan.


Kemudian sebelumnya juga telah kita ketahui bahwa tegangan pada orientasi sembarang dapat didekomposisi menjadi :

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=T_{n}\overrightarrow{n}+T_{t}\overrightarrow{t}

Nilai skalar dari vektor diatas dapat dihitung sbb :

||\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})||=(T_{n}^2+T_{t}^2)^{\frac{1}{2}}

||\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})||^2=T_{n}^2+T_{t}^2

Karena kita juga tahu bahwa \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}, maka :

(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n})^2=T_{n}^2+T_{t}^2

Bila \overrightarrow{n} adalah vektor-vektor basis dari sistem koordinat kartesian, maka persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi :

\sigma_{11}^{2}n_1^2+\sigma_{22}^{2}n_2^2+\sigma_{33}^{2}n_3^2=T_{n}^2+T_{t}^2

Yap, kita dapat persamaan kedua yang kita perlukan.


Persamaan ketiga merupakan definisi dari vektor orientasi \overrightarrow{n} dari permukaan sembarang yang didekomposisi pada vektor basisnya, yaitu

\overrightarrow{n}=n_{1}\overrightarrow{e}_1+n_{2}\overrightarrow{e}_2+n_{3}\overrightarrow{e}_3

Sekarang kita cari nilai skalar dari vektor orientasi diatas

||\overrightarrow{n}||=(n_1^2+n_2^2+n_3^2)^{\frac{1}{2}}

||\overrightarrow{n}||^2=n_1^2+n_2^2+n_3^2

Karena nilai skalar dari vektor orientasi adalah satu, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

1=n_1^2+n_2^2+n_3^2

Ini adalah persamaan ketiga dari proses menghubungkan komponen tensor tegangan dengan komponen tegangan normal dan gesernya


Sekarang saya kumpulkan ketiga persamaan diatas

T_n=\sigma_{11}n_1^2+\sigma_{22}n_2^2+\sigma_{33}n_3^2

\sigma_{11}^{2}n_1^2+\sigma_{22}^{2}n_2^2+\sigma_{33}^{2}n_3^2=T_{n}^2+T_{t}^2

1=n_1^2+n_2^2+n_3^2

Ketiga variabel n_1^2,n_2^2,n_3^2 adalah variabel yang akan kita cari. Solusi dari persamaan diatas adalah sbb :

n_1^2=\frac{(T_n-\sigma_{22})(T_n-\sigma_{33})+T_t^2}{(\sigma_{11}-\sigma_{22})(\sigma_{11}-\sigma_{33})}

n_2^2=\frac{(T_n-\sigma_{33})(T_n-\sigma_{11})+T_t^2}{(\sigma_{22}-\sigma_{11})(\sigma_{22}-\sigma_{33})}

n_3^2=\frac{(T_n-\sigma_{11})(T_n-\sigma_{22})+T_t^2}{(\sigma_{33}-\sigma_{11})(\sigma_{33}-\sigma_{22})}

Persamaan yang agak rumit diatas dapat disederhanakan dengan mengambil satu asumsi penting. Kita asumsikan bahwa tegangan prinsipal \sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33} masing-masing adalah tegangan prinsipal mayor, intermedier, dan minor, dimana besarnya :

\sigma_{11}>\sigma_{22}>\sigma_{33}

Asumsi ini dapat menyederhanakan persamaan yang kita peroleh sebelumnya, karena artinya kita bisa memprediksi penyebut dari persamaan sebelumnya, apakah bernilai positif atau negatif.

(\sigma_{11}-\sigma_{22})(\sigma_{11}-\sigma_{33})=(+)(+)=(+)

(\sigma_{22}-\sigma_{11})(\sigma_{22}-\sigma_{33})=(-)(+)=(-)

(\sigma_{33}-\sigma_{11})(\sigma_{33}-\sigma_{22})=(-)(-)=(+)

Karena n_1^2,n_2^2,n_3^2 nilainya nol atau positif, maka nilai pembilangnya dapat diketahui juga, yaitu sbb :

(T_n-\sigma_{22})(T_n-\sigma_{33})+T_t^2\ge 0

(T_n-\sigma_{33})(T_n-\sigma_{11})+T_t^2 \le 0

(T_n-\sigma_{11})(T_n-\sigma_{22})+T_t^2 \ge 0

Persamaan diatas dapat diubah pula menjadi :

(T_n-\frac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{22}-\sigma_{33}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{\sigma_{33}-\sigma_{11}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2})^2

Nah, ketiga persamaan diatas adalah bentuk persamaan lingkaran !! Oleh karena itu kita dapat gambarkan ketiga persamaan diatas dalam bidang Mohr dalam bentuk 3 buah lingkaran. Hasil penggambarannya adalah seperti pada gambar dibawah ini.

diagram-mohr

Diagram Mohr

Lingkaran C_1,C_2,C_3, masing-masing adalah lingkaran dari ketiga persamaan terakhir. Bila kita lihat persamaan sebelumnya :

  • Solusi lingkaran C_1 ada diluar lingkaran tersebut
  • Solusi lingkaran C_2 ada didalam lingkaran tersebut
  • Solusi lingkaran C_3 ada diluar lingkaran tersebut

Sehingga bila digabungkan, diperoleh bagian berarsir hijau yang merupakan daerah solusi tegangan normal dan geser yang mungkin dicapai dari pembebanan yang diberikan.

Kesimpulannya : Dengan mengetahui komponen tensor tegangan pada salah satu orientasi saja, maka kita dapat menggambarkan ketiga lingkaran Mohr-nya. Kemudian menggunakan lingkaran Mohr, kita dapat dengan mudah mengetahui tegangan normal dan geser yang terjadi pada seluruh orientasi lainnya.

Bagaimana cara mengetahui besarnya tegangan pada orientasi lainnya ?

Elaborasi lebih jauh bagaimana menginterpretasi tegangan normal dan geser pada orientasi lainnya khususnya pada kondisi plane stress akan dilanjut ke posting berikutnya 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] Tegangan Spherical & Deviatorik serta Invariannya (4) Menurunkan Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2) […]

  2. […] Menurunkan Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2) […]

  3. […] Menurunkan persamaan lingkaran Mohr pada problem general […]

  4. […] Menurunkan Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2) […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: