Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2)

Tulisan ini adalah bagian kedua dari tulisan sebelumnya mengenai diagram/lingkaran Mohr. Disini saya akan menurunkan persamaan lingkaran Mohr untuk kasus general dimana ketiga tegangan prinsipal nilainya tidak nol.

Urutan lengkap dari rangkaian tulisan tentang interpretasi grafis dari tegangan menggunakan lingkaran Mohr adalah sbb:

Pengantar representasi tegangan dengan diagram Mohr
Menurunkan persamaan lingkaran Mohr pada problem general
Kalkulasi tegangan pada sumbu lokal (metode analitik)
Kalkulasi tegangan pada sumbu lokal (metode grafik)

Pada tulisan pertama kita telah mendapat 2 poin penting soal tegangan, yaitu:

Tegangan pada suatu bidang, tidak selalu kolinear dengan normal dari bidang tersebut. Komponen tegangan yang kolinear dengan normal dari bidang adalah tegangan normal $T_{n}$ , sedangkan komponen tegangan yang tidak kolinear adalah tegangan geser $T_{t}$
Pada suatu pembebanan dengan tegangan pada sumbu-sumbu prinsipal sistem, tanpa beban tegangan geser sama sekali, ternyata tegangan geser dapat tercipta pada sumbu lokal sistem.

Poin pertama secara eksplisit menyatakan bahwa kita dapat mendekomposisi tegangan menjadi sbb :

$\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=T_{n}\overrightarrow{n}+T_{t}\overrightarrow{t}$

Deskripsi tegangan dalam bidang Mohr

Sedangkan poin kedua menyatakan bahwa seluruh kondisi tegangan pada sumbu/orientasi lokal elemen harus dianalisis untuk mengetahui kapan tegangannya paling maksimum.

Menurunkan persamaan lingkaran Mohr

Dengan menggunakan diagram Mohr, segala kerumitan untuk menghitung tegangan pada orientasi lokal dapat dicerna dengan mudah secara grafis.

Mohr mengusulkan untuk mem-plot kondisi tegangan didalam sumbu $(T_{n},T_{t})$

Prinsipnya sederhana, tegangan $\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})$ akan didekomposisi dalam sistem sumbu diatas

Namun $\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})$ adalah tegangan pada suatu permukaan yang nilainya tergantung pada arah orientasi sembarang $\overrightarrow{n}$ . Padahal nilai yang kita ketahui hanyalah nilai-nilai komponen tensor tegangan pada sistem sumbu global.

Oleh karena itu tugas kita adalah menghubungkan komponen tensor tegangan yang telah diketahui dengan sistem sumbu bidang Mohr $(T_{n},T_{t})$ yang masing-masing adalah tegangan normal dan tegangan geser pada suatu permukaan.

Hubungan tegangan dan tensor tegangan untuk orientasi sembarang adalah sbb :

$\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}$

Besarnya tegangan normal $T_n$ dapat dihitung dengan memproyeksikan tegangan $\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})$ dalam arah normal bidang $\overrightarrow{n}$ , sehingga :

$T_n=\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

$T_n=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}$

Bila $\overrightarrow{n}$ dapat didekomposisi menjadi vektor-vektor basis dari sistem koordinat kartesian

$\overrightarrow{n}=n_{1}\overrightarrow{e}_1+n_{2}\overrightarrow{e}_2+n_{3}\overrightarrow{e}_3$

Maka besarnya tegangan normal dapat dihitung sbb :

$T_n=\sigma_{11}n_1^2+\sigma_{22}n_2^2+\sigma_{33}n_3^2$

Ini adalah persamaan pertama yang kita perlukan.

Kemudian sebelumnya juga telah kita ketahui bahwa tegangan pada orientasi sembarang dapat didekomposisi menjadi :

$\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=T_{n}\overrightarrow{n}+T_{t}\overrightarrow{t}$

Nilai skalar dari vektor diatas dapat dihitung sbb :

$||\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})||=(T_{n}^2+T_{t}^2)^{\frac{1}{2}}$

$||\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})||^2=T_{n}^2+T_{t}^2$

Karena kita juga tahu bahwa $\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}$ , maka :

$(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n})^2=T_{n}^2+T_{t}^2$

Bila $\overrightarrow{n}$ adalah vektor-vektor basis dari sistem koordinat kartesian, maka persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi :

$\sigma_{11}^{2}n_1^2+\sigma_{22}^{2}n_2^2+\sigma_{33}^{2}n_3^2=T_{n}^2+T_{t}^2$

Yap, kita dapat persamaan kedua yang kita perlukan.

Persamaan ketiga merupakan definisi dari vektor orientasi $\overrightarrow{n}$ dari permukaan sembarang yang didekomposisi pada vektor basisnya, yaitu

$\overrightarrow{n}=n_{1}\overrightarrow{e}_1+n_{2}\overrightarrow{e}_2+n_{3}\overrightarrow{e}_3$

Sekarang kita cari nilai skalar dari vektor orientasi diatas

$||\overrightarrow{n}||=(n_1^2+n_2^2+n_3^2)^{\frac{1}{2}}$

$||\overrightarrow{n}||^2=n_1^2+n_2^2+n_3^2$

Karena nilai skalar dari vektor orientasi adalah satu, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

$1=n_1^2+n_2^2+n_3^2$

Ini adalah persamaan ketiga dari proses menghubungkan komponen tensor tegangan dengan komponen tegangan normal dan gesernya

Sekarang saya kumpulkan ketiga persamaan diatas

$T_n=\sigma_{11}n_1^2+\sigma_{22}n_2^2+\sigma_{33}n_3^2$

$\sigma_{11}^{2}n_1^2+\sigma_{22}^{2}n_2^2+\sigma_{33}^{2}n_3^2=T_{n}^2+T_{t}^2$

$1=n_1^2+n_2^2+n_3^2$

Ketiga variabel $n_1^2,n_2^2,n_3^2$ adalah variabel yang akan kita cari. Solusi dari persamaan diatas adalah sbb :

$n_1^2=\frac{(T_n-\sigma_{22})(T_n-\sigma_{33})+T_t^2}{(\sigma_{11}-\sigma_{22})(\sigma_{11}-\sigma_{33})}$

$n_2^2=\frac{(T_n-\sigma_{33})(T_n-\sigma_{11})+T_t^2}{(\sigma_{22}-\sigma_{11})(\sigma_{22}-\sigma_{33})}$

$n_3^2=\frac{(T_n-\sigma_{11})(T_n-\sigma_{22})+T_t^2}{(\sigma_{33}-\sigma_{11})(\sigma_{33}-\sigma_{22})}$

Persamaan yang agak rumit diatas dapat disederhanakan dengan mengambil satu asumsi penting. Kita asumsikan bahwa tegangan prinsipal $\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33}$ masing-masing adalah tegangan prinsipal mayor, intermedier, dan minor, dimana besarnya :

$\sigma_{11}>\sigma_{22}>\sigma_{33}$

Asumsi ini dapat menyederhanakan persamaan yang kita peroleh sebelumnya, karena artinya kita bisa memprediksi penyebut dari persamaan sebelumnya, apakah bernilai positif atau negatif.

$(\sigma_{11}-\sigma_{22})(\sigma_{11}-\sigma_{33})=(+)(+)=(+)$

$(\sigma_{22}-\sigma_{11})(\sigma_{22}-\sigma_{33})=(-)(+)=(-)$

$(\sigma_{33}-\sigma_{11})(\sigma_{33}-\sigma_{22})=(-)(-)=(+)$

Karena $n_1^2,n_2^2,n_3^2$ nilainya nol atau positif, maka nilai pembilangnya dapat diketahui juga, yaitu sbb :

$(T_n-\sigma_{22})(T_n-\sigma_{33})+T_t^2\ge 0$

$(T_n-\sigma_{33})(T_n-\sigma_{11})+T_t^2 \le 0$

$(T_n-\sigma_{11})(T_n-\sigma_{22})+T_t^2 \ge 0$

Persamaan diatas dapat diubah pula menjadi :

$(T_n-\frac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{22}-\sigma_{33}}{2})^2$

$(T_n-\frac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{\sigma_{33}-\sigma_{11}}{2})^2$

$(T_n-\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2})^2$

Nah, ketiga persamaan diatas adalah bentuk persamaan lingkaran !! Oleh karena itu kita dapat gambarkan ketiga persamaan diatas dalam bidang Mohr dalam bentuk 3 buah lingkaran. Hasil penggambarannya adalah seperti pada gambar dibawah ini.

Diagram Mohr

Lingkaran $C_1,C_2,C_3$ , masing-masing adalah lingkaran dari ketiga persamaan terakhir. Bila kita lihat persamaan sebelumnya :

Solusi lingkaran $C_1$ ada diluar lingkaran tersebut
Solusi lingkaran $C_2$ ada didalam lingkaran tersebut
Solusi lingkaran $C_3$ ada diluar lingkaran tersebut

Sehingga bila digabungkan, diperoleh bagian berarsir hijau yang merupakan daerah solusi tegangan normal dan geser yang mungkin dicapai dari pembebanan yang diberikan.

Kesimpulannya : Dengan mengetahui komponen tensor tegangan pada salah satu orientasi saja, maka kita dapat menggambarkan ketiga lingkaran Mohr-nya. Kemudian menggunakan lingkaran Mohr, kita dapat dengan mudah mengetahui tegangan normal dan geser yang terjadi pada seluruh orientasi lainnya.

Bagaimana cara mengetahui besarnya tegangan pada orientasi lainnya ?

Elaborasi lebih jauh bagaimana menginterpretasi tegangan normal dan geser pada orientasi lainnya khususnya pada kondisi plane stress akan dilanjut ke posting berikutnya 😎

	Irma pada Konsolidasi – Overview
	kenny pada Rangkuman Rumus Lingkaran…
	bella pada Uji Triaksial – Fase Kom…
	Dian pada Jaring Aliran (Flownet)…
	joetomo pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	toto pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	donal pada Uji Triaksial – Unconsol…
	joetomo pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	geotechnicalfreak pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	joetomo pada Pengenalan Singkat Tensor…

Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2)

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Grafik Mohr (4) | Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Simetrisitas Tensor Tegangan (3)

Pengenalan Singkat Tensor & Beberapa Notasi Penting

ALERT Geomaterials 2013

Rangkuman Rumus Lingkaran Mohr

Operator Laplace dan Operator Rotasi (Curl)

Recent Comments

Follow Site via Email

Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2)

Bagikan ini:

Menyukai ini:

Terkait

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Grafik Mohr (4) | Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Simetrisitas Tensor Tegangan (3)

Pengenalan Singkat Tensor & Beberapa Notasi Penting

ALERT Geomaterials 2013

Rangkuman Rumus Lingkaran Mohr

Operator Laplace dan Operator Rotasi (Curl)

Recent Comments

Follow Site via Email