Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Analitik (3)

Tulisan ini adalah bagian ketiga dari tulisan mengenai lingkaran Mohr. Di bagian ini saya akan memaparkan mengenai representasi lingkaran Mohr pada kalkulasi analitik.

Urutan lengkap dari rangkaian tulisan tentang interpretasi grafis dari tegangan menggunakan lingkaran Mohr adalah sbb:

Diagram Mohr diperlukan untuk mengetahui kondisi tegangan pada orientasi lokal dari elemen yang kita miliki, karena tegangan pada orientasi global dan setiap orientasi lokal berbeda.

Pada bagian kedua saya telah menurunkan persamaan Mohr untuk kondisi umum, yaitu kondisi dimana tegangan prinsipal dalam ketiga arahnya tidak sama dengan nol:

\sigma_{11}>\sigma_{22}>\sigma_{33}

Persamaan lingkaran Mohr-nya didefinisikan sbb :

(T_n-\frac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{22}-\sigma_{33}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{\sigma_{33}-\sigma_{11}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2})^2

Agar tidak membingungkan saat membaca bagian ini, maka semua tegangan prinsipal diatas akan saya akan tulis sbb

(T_n-\frac{\sigma_{2}+\sigma_{3}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{2}-\sigma_{3}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{3}+\sigma_{1}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{\sigma_{3}-\sigma_{1}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})^2

Pertama-tama, sebelum membahas mengenai bagaimana caranya menghitung tegangan secara analitik, ada beberapa kondisi khusus dimana persamaan lingkaran Mohr diatas dapat disederhanakan, antara lain :

  • Saat tegangan intermedier = tegangan minor
  • Saat kondisi plane stress

Saya akan bahas keduanya lebih lanjut dibawah ini.

Kondisi khusus : Tegangan intermedier = tegangan minor

Ini merupakan kondisi khusus yang lazim kita temui saat melakukan uji triaksial. Pada uji triaksial, tegangan pengekang  \sigma_{c} (confinement stress) diberikan ke sumbu intermedier dan minor dengan besar yang sama.

\sigma_{2}=\sigma_{3}=\sigma_{c}

Bila kita tuliskan ketiga persamaan lingkaran Mohr yang kita miliki sebelumnya akan berubah menjadi :

(T_n-\sigma_{c})^2+T_t^2 \ge 0

(T_n-\frac{\sigma_{c}+\sigma_{1}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{\sigma_{c}-\sigma_{1}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{c}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{1}-\sigma_{c}}{2})^2

Bila kita gambarkan lingkaran Mohrnya, maka lingkaran c_1 akan menjadi titik saja (karena kini jari-jarinya sama dengan nol). Sedangkan lingkaran c_2 dan c_3 akan berpotongan satu sama lain.

mohr-same-minor-intermedier

Karena daerah solusinya berada di lingkaran C_1 atau diluarnya, di lingkaran C_2 atau didalamnya, dan di lingkaran C_3 atau diluarnya.

Maka daerah solusi yang  memenuhi ketiga kondisi diatas adalah seluruh titik yang berada di lingkaran C_{2} atau C_{3}

Kondisi khusus : Plane Stress

Plane stress adalah kondisi khusus dimana tegangan pada arah minor nilainya nol, sehingga dimiliki kondisi batas sbb :

\sigma_{3}=0

Dimana tegangan prinsipal pada arah minor nilainya nol.

Bila tegangan prinsipal minornya nol, maka ketiga persamaan lingkaran Mohr-nya akan menjadi :

(T_n-\frac{\sigma_{2}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{2}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{1}}{2})^2+T_t^2 \le (\frac{-\sigma_{1}}{2})^2

(T_n-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2})^2+T_t^2 \ge (\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})^2

Kemudian karena seluruh tegangan pada orientasi n_3 bernilai nol, maka pada kasus ini hanya tegangan pada orientasi n_1 dan n_2 yang perlu dianalisis, karena kita ambil n_3 = 0

Sehingga persamaan lingkaran C_3 berubah menjadi

(T_n-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2})^2+T_t^2 = (\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})^2

Perhatikan bahwa tanda lebih besar sekarang menjadi tanda sama dengan. Sehingga ketiga lingkaran Mohr dapat digambarkan dibawah ini.

mohr-plane-stress

Karena daerah solusinya berada di lingkaran C_1 atau diluarnya, di lingkaran C_2 atau didalamnya, dan harus berada di titik-titik pada lingkaran C_3, maka daerah solusinya berada pada lingkaran C_3

Metode analitik untuk menentukan tegangan pada sumbu lokal

Untuk kalkulasi tegangan pada sumbu lokal secara analitik, saya akan ambil kasus plane stress dimana solusinya berakhir hanya pada lingkaran Mohr tunggal.

Sebelum memulai penurunan untuk menghitung tegangan sumbu lokal, dalam perumusan lingkaran Mohr yang kita hitung diatas ada 2 hal yang harus saya tegaskan disini :

  • Tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) didekomposisi pada sumbu global sistem
  • Kedua, yang lebih penting adalah bahwa tegangan prinsipal mayor, intermedier, dan minor masing-masing diambil \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} 🙄 😎

Berikut ini akan saya turunkan besarnya tegangan, bila didekomposisi bukan pada sumbu global, melainkan pada sumbu lokalnya

Gambar dibawah ini menunjukkan suatu tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) pada arah sembarang \overrightarrow{n} di bidang vektor basis \overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2,\overrightarrow{n}_3

tegangan-plane-stress

Untuk kasus plane stress nilai tegangan pada arah \overrightarrow{n}_3 adalah nol, maka vektor orientasi sembarang \overrightarrow{n} dan tegangannya \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) hanya bervariasi pada arah \overrightarrow{n}_1 dan \overrightarrow{n}_2, sehingga pada gambar diatas vektor basis \overrightarrow{n}_3 saya buat putus-putus

Misalkan kita miliki sistem sumbu lokal (\overrightarrow{n},\overrightarrow{t}), dengan \overrightarrow{n} membentuk sudut \theta dengan sumbu globalnya

tegangan-plane-stress-mohr

Bila dekomposisi dilakukan pada sumbu lokal (\overrightarrow{n},\overrightarrow{t}), maka T_n akan kolinear dengan vektor sembarang \overrightarrow{n}

Disini, dekomposisi tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) pada bidang Mohr sangat tergantung pada arah orientasi sembarang \overrightarrow{n}

Bagaimana cara kita menghitung tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) yang akan didekomposisi pada bidang Mohr T_n,T_t ke sistem sumbu global ?

Caranya mudah, pertama kita cukup proyeksikan vektor sembarang \overrightarrow{n} dan pasangannya \overrightarrow{t} dalam sistem sumbu global, dimana :

\overrightarrow{n}=\cos\theta\overrightarrow{e}_1+\sin\theta\overrightarrow{e}_2

\overrightarrow{t}=-\sin\theta\overrightarrow{e}_1+\cos\theta\overrightarrow{e}_2

Kemudian untuk kasus plane stress, maka tensor tegangannya adalah sbb

\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&0\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}

Untuk kondisi plane stress, karena tidak bervariasi terhadap \overrightarrow{n}_3 maka cukup ditulis menjadi :

\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{bmatrix}

Sekali lagi perlu diingat, ini adalah tensor tegangan pada sumbu global sistem !!!

Sehingga besarnya tegangan \overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}) dapat dihitung sbb

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{Bmatrix}

\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n})=\begin{Bmatrix}\sigma_{11}\cos\theta+\sigma_{12}\sin\theta\\\sigma_{21}\cos\theta+\sigma_{22}\sin\theta\end{Bmatrix}


Kemudian kita dekomposisi nilai tegangannya pada bidang Mohr

1. Menghitung T_n

T_n=\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}).\overrightarrow{n}

T_n=\begin{Bmatrix}\sigma_{11}\cos\theta+\sigma_{12}\sin\theta\\\sigma_{21}\cos\theta+\sigma_{22}\sin\theta\end{Bmatrix}.\begin{Bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{Bmatrix}

T_n=\sigma_{11}\cos^{2}\theta+\frac{\sigma_{12}}{2}\sin 2\theta+\frac{\sigma_{21}}{2}\sin 2\theta+\sigma_{22}\sin^{2}\theta

T_n=\sigma_{11}\cos^{2}\theta+\sigma_{12}\sin 2\theta+\sigma_{22}\sin^{2}\theta

T_n=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})+\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22})\cos 2\theta+\sigma_{12}\sin 2\theta

2. Menghitung T_t

T_t=\overrightarrow{T}(\overrightarrow{n}).\overrightarrow{t}

T_t=\begin{Bmatrix}\sigma_{11}\cos\theta+\sigma_{12}\sin\theta\\\sigma_{21}\cos\theta+\sigma_{22}\sin\theta\end{Bmatrix}.\begin{Bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{Bmatrix}

T_t=-\frac{\sigma_{11}}{2}\sin 2\theta-\sigma_{12}\sin^2\theta+\sigma_{21}\cos^2\theta+\frac{\sigma_{22}}{2}\sin 2\theta

T_t=-\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22})\sin 2\theta+\sigma_{12}\cos 2\theta


Kedua hasil dekomposisi tersebut merupakan nilai tegangan pada bidang Mohr untuk vektor orientasi sembarang \overrightarrow{n} yang memiliki sudut \theta terhadap sumbu global sistem

Sekarang kita plot kedua hasil dekomposisi tegangan tersebut dalam lingkaran Mohr untuk nilai \theta yang berbeda, pertama misalnya dengan \theta=0, sehingga dapat dihitung tegangan lokalnya

T_n=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})+\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22})=\sigma_{11}

T_t=\sigma_{12}

mohr-theta-0

Gambar kiri diatas menunjukkan kondisi tegangan dengan \theta=0, sedangkan gambar dikanan menunjukkan plot tegangannya dalam bidang Mohr

Kita dapat lihat dengan jelas bahwa saat tegangan geser di sumbu global \sigma_{12} \neq 0 maka tegangan \sigma_{11} di sumbu global bukan merupakan tegangan prinsipal !!

Dengan besar jari-jarinya adalah

R=\sqrt{(\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22}))^2+\sigma_{12}^2}

Ini sangat penting sekaligus dapat membingungkan, karena bila kita ingat persamaan lingkaran Mohr untuk plane stress yang telah kita hitung sebelumnya, radius dari persamaan lingkaran Mohr-nya adalah

R^2=(\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})^2

R=(\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})

Nah kan, koq beda…. 🙄

Jangan lupa bahwa pada persamaan tersebut \sigma_{1} dan \sigma_{2} adalah tegangan prinsipal !! Seperti saya katakan sebelumnya bahwa \sigma_{11} dan \sigma_{22} disini bukan tegangan prinsipal

Bila kita hitung masing-masing tegangan prinsipalnya yang merupakan titik pusat lingkaran ditambah/dikurang dari jari-jari lingkaran, maka diperoleh

\sigma_{1}=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})+\sqrt{(\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22}))^2+\sigma_{12}^2}

\sigma_{2}=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})-\sqrt{(\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22}))^2+\sigma_{12}^2}

Nah sekarang saya cek dengan mensubstitusi kedua nilai tegangan diatas kedalam persamaan jari-jari, pasti akan mendapatkan hubungan berikut

R=(\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2})=\sqrt{(\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22}))^2+\sigma_{12}^2}

Jadi sebenarnya sama aja tuh ternyata :mrgreen:


Terakhir, bagaimana kalau saya ingin mencari tegangan pada \theta=45 ? Tinggal hitung dekomposisi tegangannya sbb

T_n=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})+\sigma_{12}

T_t=-\frac{1}{2}(\sigma_{11}-\sigma_{22})

Kemudian saya plot nilai diatas dalam diagram Mohr-nya dan saya peroleh gambar dibawah ini

mohr-theta-45

Disini dapat dengan jelas kita lihat bahwa rotasi sumbu global ke lokal sebesar \theta menghasilkan rotasi sebesar -2\theta pada diagram Mohr-nya

Sekian dolo ya, nanti saya sambung posting berikutnya dengan 2 metode grafis dengan lingkaran Mohr 🙂

Iklan

Trackbacks

  1. […] Pengantar Representasi Tegangan Dengan Diagram Mohr (1) Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Analitik (3) […]

  2. […] Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Analitik (3) […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: