Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Grafik Mohr (4)

Tulisan ini adalah bagian terakhir dari rangkaian tulisan mengenai lingkaran Mohr. Draft ini uda mendekam semingguan lebih, karena ternyata penulisannya cukup memakan waktu 🙄 😎

Rangkaian lengkap dari tulisan tentang interpretasi grafis dari tegangan menggunakan lingkaran Mohr adalah sbb:

Pengantar representasi tegangan dengan diagram Mohr
Menurunkan persamaan lingkaran Mohr pada problem general
Kalkulasi tegangan pada sumbu lokal (metode analitik)
Kalkulasi tegangan pada sumbu lokal (metode grafik)

Sebagai bagian pamungkas dari rangkaian tulisan tentang lingkaran Mohr, saya akan membahas dua metode grafis untuk menentukan tegangan pada sumbu lokal dari elemen.

Sebelum memulai pembahasan soal kedua metode tersebut, saya akan mengulas kembali soal konvensi tanda yang saya gunakan dalam pembahasan ini.

Konvensi tanda positif dan negatif

Setiap kali akan memulai membuat lingkaran Mohr atau saat membaca buku-buku mekanika, perhatikan terlebih dahulu konvensi tanda yang digunakan.

Ini penting karena seringkali buku yang satu dan yang lain memiliki konvensi tanda positif dan negatif yang saling berkebalikan.

Pada posting ini, saya akan menggunakan tegangan aksial dan geser di elemen dibawah ini sebagai positif dengan $\sigma_{11}>\sigma_{22}$

Karena kita berbicara pada kasus khusus tegangan planar (lihat posting sebelumnya), maka tegangan pada elemen hanya dibentuk oleh dua pasangan tegangan, dimana 2 pasangan tegangan tersebut adalah:

Tegangan $\sigma_{11}$ dan tegangan $\sigma_{12}$ yang berputar berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat elemen
Tegangan $\sigma_{22}$ dan tegangan $\sigma_{12}$ yang berputar searah jarum jam terhadap titik pusat elemen

Bila menggunakan arah tegangan $T_n$ dan $T_t$ yang telah saya lakukan sebelumnya, maka tegangan geser yang berlawanan arah jam adalah positif dan vice versa (cara a). Namun hasilnya adalah putaran elemen di sumbu lokal dan di lingkaran Mohr yang tidak sinkron (saling berkebalikan).

Cara a

Ada 2 cara untuk mensinkronkan arah putaran elemen dan arah rotasi di lingkaran Mohr, yang pertama adalah dengan membalik tanda negatif-positif dari tegangan geser di bidang Mohr (cara b)

Cara b

Atau cara kedua adalah dengan mengambil tegangan kearah bawah pada sumbu lokal sebagai positif (cara c), ini adalah cara yang umumnya dilakukan, akibatnya adalah tegangan gesernya positif pada arah putaran searah jarum jam

Cara c

Banyak buku, diktat, atau sumber lainnya yang menggunakan nilai positif untuk putaran searah jarum jam (cara c), misalnya di wikipedia. Hal ini mereka lakukan karena mereka harus mensinkronkan arah dari putaran sumbu lokal $\theta$ dengan arah putaran $-2\theta$ di bidang Mohr

Bingung ? 🙄 Emang agak ngebingungin sih, untuk itu saya beri rangkuman singkat disini :

Cara a, rotasi $\theta$ ke sumbu lokal, akan menghasilkan rotasi $-2\theta$ di diagram Mohr. Disini tegangan geser yang berputar berlawanan arah jarum jam pada elemen adalah positif. Perhatikan disini bahwa rotasi dari kedua gambar dikiri dan kanan saling berlawanan
Cara b, agar arah rotasinya selaras maka kita bisa mengubah sumbu positif lingkaran Mohr kearah bawah. Disini tegangan geser yang berputar berlawanan arah jarum jam pada elemen adalah positif. Sekarang rotasi di sumbu lokal dan di lingkaran Mohr-nya sudah selaras
Cara c, agar arah rotasinya selaras, kita bisa juga membalik arah positif $T_t$ di sumbu lokalnya kearah bawah. Akibatnya disini tegangan geser yang berputar searah jarum jam pada elemen adalah positif

Gimana ? Semoga rada lebih jelas ya, pada umumnya cara c adalah yang paling umum digunakan. Sedangkan cara a adalah cara yang saya gunakan di posting sebelumnya.

Untuk selanjutnya saya akan menggunakan cara c untuk menggambarkan lingkaran Mohr di elemen.

Menentukan kondisi inisial tegangan

Hal yang menarik dari kedua pasangan tegangan di suatu elemen adalah keduanya selalu membentuk sudut 90° satu sama lain.

Dari posting sebelumnya saya telah membuktikan bahwa rotasi sumbu lokal sebesar $\theta$ akan menghasilkan rotasi sebesar $-2\theta$ (atau $2\theta$ ) pada diagram Mohr-nya

Sehingga hasil penggambaran kedua pasangan tegangannya adalah dua buah garis yang kolinear

Pada posting sebelum ini saya sempat memberi contoh bagaimana caranya menggambar tegangan pada lingkaran Mohr

Agar lebih clear, kali ini saya akan memberi contoh dengan menggunakan nilai numerik

Anggap kita miliki suatu elemen. Dengan nilai tensor tegangannya sbb :

$\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{bmatrix}$

$\overline{\overline{\sigma}}=\begin{bmatrix}{100}&{-20}\\{-20}&{50}\end{bmatrix}$

Maka berdasarkan kesepakatan konvensi tanda yang saya jelaskan sebelumnya, maka bentuk elemennya adalah sbb :

Hasil penggambaran lingkaran Mohr-nya adalah sebagai berikut :

Ini merupakan kondisi initial tegangan yang kita miliki pada bidang Mohr $(T_n,T_t)$

Gambar diatas menunjukkan dengan jelas bahwa kedua pasangan tegangan yang berbeda 90° akan memiliki perbedaan 180° di lingkaran Mohr-nya

Sebagai menu utama dari posting kali ini, saya akan coba cari besarnya nilai tegangan pada orientasi lokal $\theta=45$ menggunakan 2 metode grafik Mohr, yaitu

Metode sudut ganda (double angle approach)
Metode titik penjuru (pole point approach)

Pendekatan sudut ganda (double angle approach)

Menggunakan metode ini kita dapat langsung mencari besarnya tegangan pada sumbu lokal karena kita telah ketahui bahwa rotasi sebesar $2\theta$ pada diagram Mohr berkorelasi dengan rotasi $\theta$ dari sumbu global ke lokal

Sehingga hasil penggambarannya untuk $\theta=45$ adalah sbb

Tegangan di sumbu lokal pada $\theta=45$ dapat kita lihat dengan mudah dengan memutar lingkaran Mohr sebesar $2\theta=90$

Besarnya tegangan di orientasi lokal $\theta=45$ dapat langsung dibaca di lingkaran Mohr-nya, saya tidak tampilkan disini karena saya tidak membuat lingkaran Mohr-nya dengan skala yang presisi. Saya hanya menekankan prinsip cara membuatnya yang saya kira cukup jelas dengan melihat gambar diatas

Hanya saja perhatikan kedua titik hasil akhirnya di orientasi lokal $\theta=45$ , kedua titik ini akan kita bandingkan, apakah sama dengan hasil metode kedua

Pendekatan titik penjuru (pole point approach)

Pendekatan kedua dinamai dengan pole point approach, dinamai demikian karena secara grafis, ada sebuah titik dimana seluruh tegangan pada orientasi lokal manapun akan berpotongan di titik ini

Cara membuatnya, titik penjuru ini dibuat berdasarkan dari 2 buah pasangan orientasi tegangan, dari gambar sebelumnya, kedua orientasi tegangan yang kita miliki, yaitu sbb :

Tegangan $\sigma_{11}$ dan $\sigma_{12}$ yang searah jarum jam. Tegangan ini bekerja pada bidang vertikal
Tegangan $\sigma_{22}$ dan $\sigma_{12}$ yang berlawanan arah jarum jam. Tegangan ini bekerja pada bidang horizontal

Kita cukup gambarkan bidang horizontal dan vertikal ini dari kedua pasangan tegangan diatas, sehingga diperoleh pole point berikut

Kemanapun arah orientasi lokal tegangan, kedua pasangan tegangan tersebut akan selalu berpotongan di titik tersebut. Itu alasannya titik tersebut disebut sebagai titik penjuru

Kemudian tegangan pada orientasi lokal $\theta=45$ dapat diketahui dengan membuat garis yang sejajar orientasi lokalnya seperti dibawah ini

Gambar diatas menunjukkan dua titik yang merupakan kondisi tegangan pada orientasi lokal menggunakan metode titik penjuru. Perhatikan pula bahwa kondisi tegangan di orientasi lokal ditentukan dengan membuat garis yang sejajar dengan orientasi lokal pasangan tegangan yang bersangkutan

Bila kita tarik garis dari dua titik yang dibentuk lingkaran hijau diatas dan membandingkannya dengan hasil yang diperoleh dengan metode pertama, dapat kita lihat bahwa garis tersebut sama persis dengan garis di orientasi lokal $\theta=45$ pada lingkaran Mohr di metode pertama

Saya pribadi lebih menyukai metode pole point approach karena kepraktisannya, setelah mengetahui pole point-nya, maka tegangan di orientasi lokalnya teramat mudah dihitung

Cukup dengan menarik garis yang sejajar orientasi lokal yang ingin dihitung dari pole point-nya 🙂

Saya akhiri dolo disini, cape juga ternyata buat posting yang harus banyak pake grafik, hehehe

Cheers 😎

Comments

arik aguk says:

November 9, 2015 pukul 06:45

terimaksih, penjelasan mohr sangat membantu

Balas
- joetomo says:
  
  November 10, 2015 pukul 12:38
  
  sama-sama, thx udah mampir 😀
  
  Balas
Alma Rasyid (@almarasyid) says:

Oktober 10, 2016 pukul 16:03

terima kasih banyak ya, sangat membantu. izin copas untuk belajar. Thanks

Balas

	Irma pada Konsolidasi – Overview
	kenny pada Rangkuman Rumus Lingkaran…
	bella pada Uji Triaksial – Fase Kom…
	Dian pada Jaring Aliran (Flownet)…
	joetomo pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	toto pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	donal pada Uji Triaksial – Unconsol…
	joetomo pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	geotechnicalfreak pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	joetomo pada Pengenalan Singkat Tensor…

Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Grafik Mohr (4)

Comments

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Menurunkan Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2) | Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Hukum Konstitutif Elastik – Anisotropic

Pengenalan Singkat Tensor & Beberapa Notasi Penting

Small Deformation, Seberapa Kecil ? (1)

Simetrisitas Tensor Tegangan (3)

Hukum Konstitutif Elastik – Isotropic (Formulasi)

Recent Comments

Follow Site via Email

Tegangan Pada Sumbu Lokal Dengan Metode Grafik Mohr (4)

Bagikan ini:

Menyukai ini:

Terkait

Comments

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Menurunkan Persamaan Lingkaran Mohr Pada Problem General (2) | Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Hukum Konstitutif Elastik – Anisotropic

Pengenalan Singkat Tensor & Beberapa Notasi Penting

Small Deformation, Seberapa Kecil ? (1)

Simetrisitas Tensor Tegangan (3)

Hukum Konstitutif Elastik – Isotropic (Formulasi)

Recent Comments

Follow Site via Email