Tensor Rotasi Kecil

Juni 15, 2013 oleh 1 Komentar

Tensor rotasi kecil atau small rotation tensor adalah tensor yang menyatakan besarnya rotasi di suatu elemen untuk kondisi rotasi yang kecil. 😎

rotasi-elemen

Rotasi sebuah elemen

Mirip seperti tensor deformasi kecil, tensor ini hanya berlaku bila rotasi di elemen nilainya kecil.

Perlu diingat bahwa baik tensor deformasi kecil dan tensor rotasi kecil, keduanya bukanlah tensor yang mendeformasi/merotasi suatu vektor. Kedua tensor ini adalah tensor yang menyatakan intensitas dari deformasi dan rotasi yang terjadi.

Sebelum menurunkan tensor rotasi kecil, mungkin ada baiknya me-review beberapa hal yang sebelumnya pernah saya posting, yaitu tensor transformasi dan tensor deformasi.

Kilas balik tensor transformasi dan deformasi

Tensor transformasi adalah suatu tensor yang mentransformasi suatu vektor dari suatu posisi initial ke posisi akhirnya, didefinisikan sbb:

F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}

Dengan menggunakan definisi vektor perpindahan (displacement) \overrightarrow{U} yang merupakan perbedaan panjang vektor antara posisi awal dan akhir.

\overrightarrow{U}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{X}

Hasil turunan definisi diatas terhadap vektor posisi initial \overrightarrow{X}, menghasilkan relasi berikut:

\overline{\overline{H}}=\overline{\overline{F}}-\overline{\overline{I}}

Dimana \overline{\overline{H}} adalah tensor gradien dari perpindahan (tensor Hencky)

Persamaan diatas berguna untuk menjabarkan tensor deformasi berikut

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{C}}-\overline{\overline{I}})

\overline{\overline{E}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{F}}^{T}\overline{\overline{F}}-\overline{\overline{I}})

\overline{\overline{E}}=\overline{\overline{\epsilon}}+\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T\overline{\overline{H}})

Dimana untuk kasus small deformation, terms kedua dari bagian kanan persamaan diatas dapat diabaikan, sehingga deformasinya menjadi

\overline{\overline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{H}})

Dekomposisi tensor Hencky

Sekarang kita agak mundur sedikit, saya akan mendekomposisi tensor Hencky sbb :

\overline{\overline{H}}=\frac{1}{2}\overline{\overline{H}}+\frac{1}{2}\overline{\overline{H}}+\frac{1}{2}\overline{\overline{H}}^{T}-\frac{1}{2}\overline{\overline{H}}^{T}

\overline{\overline{H}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{H}}^{T})+\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}-\overline{\overline{H}}^{T})

\overline{\overline{H}}=\overline{\overline{H}}^{s}+\overline{\overline{H}}^{a}

Apa yang saya jabarkan diatas adalah proses penjabaran tensor Hencky menjadi bagian simetrik dan asimetriknya. Semua tensor orde 2 dapat didekomposisi secara demikian

Kalau diperhatikan, bukan kebetulan bahwa nilai tensor \overline{\overline{\epsilon}} sama dengan nilai tensor \overline{\overline{H}}^{s}. Dimana :

\overline{\overline{\epsilon}}=\overline{\overline{H}}^{s}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}+\overline{\overline{H}}^{T})

Sehingga persamaan sebelumnya dapat dituliskan juga menjadi

\overline{\overline{H}}=\overline{\overline{\epsilon}}+\overline{\overline{H}}^{a}

Kalau ternyata salah satu bagian dari tensor Hencky adalah tensor deformasi kecil, berarti bagian lainnya adalah…. 💡

Tensor rotasi kecil

Diatas kita sudah lihat lihat bahwa sesungguhnya \overline{\overline{H}}^{s} adalah tensor deformasi kecil yang merupakan bagian simetrik dari tensor Hencky

Ini artinya sisanya tensor \overline{\overline{H}}^{a} itu tidak lain adalah tensor rotasi kecil, atau lebih sering ditulis \overline{\overline{\omega}}

Mengapa bagian asimetrik dari tensor Hencky otomatis menjadi tensor rotasi kecil ? 🙄

Ini tidak lain karena tensor deformasi kecil hanya menentukan intensitas deformasi aksial dan geser pada elemen. Sedangkan gradien perpindahan rotasional tidak termasuk didalam tensor small deformation \overline{\overline{\epsilon}}

Oleh karena itu, “sisa” dari dekomposisi tersebut otomatis adalah tensor rotasi kecil

Pemahaman lebih lanjut mengenai tensor rotasi kecil ini memerlukan pemahaman  mengenai tensor rotasi yang “tidak kecil”, yang saya akan disinggung lebih lanjut di posting berikutnya 😎

Filed Under: Mekanika Kontinum
«
»

Trackbacks

  1. Hukum konstitutif : Introduksi – Civil engineering as viewed by me berkata:
    Januari 25, 2015 pukul 15:19

    […] Tensor regangan kecil sejatinya merupakan bagian simetrik dari tensor gradien perpindahan, sedemikian sehingga tentunya dan sewajarnya ia simetrik :mrgreen:. Sebagai catatan, bagian antisimetrik dari tensor gradien perpindahan adalah tensor rotasi kecil. […]

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: