True or False : Deformasi = Translasi + Rotasi ?

Pertanyaan di judul postingan ini sekilas sederhana, tapi saya gataw seberapa banyak civil engineer yang bisa menjawabnya dengan benar.

Mengapa harus dijawab benar ? Karena sebagian dari kita khususnya yang mempelajari ilmu struktur pasti sering menggunakan program-program elemen hingga yang mana hampir pasti telah mengaplikasikan perhitungan tensoriel didalamnya.

Sangat disayangkan kalau kita sampai tidak memahami bagaimana program analisis struktur tersebut bekerja, karena itu artinya kita hanya menjadi operator dari suatu program.

Sebelum membahas lebih jauh, kali ini saya akan langsung memberikan kunci jawaban pertanyaan diatas, jawabannya adalah false alias salah.

Deformasi dapat didekomposisi menjadi deformasi geser dan deformasi aksial. Dimana keduanya merupakan manifestasi dari gradien perpindahan.

Namun, formulasi deformasi tidak memiliki hubungan dengan translasi maupun rotasi dari elemen, sehingga otomatis pernyataan pada judul posting ini tidak benar.

Deformasi aksial dan geser

Untuk menjelaskan pernyataan saya sebelumnya, saya akan mendemonstrasikan bahwa formulasi deformasi terdiri dari bagian aksial dan gesernya.

Deformasi aksial mengubah volume benda, sedangkan deformasi geser hanya mengubah bentuk benda tanpa mengubah volumenya.

Pada kondisi small deformation, deformasi dapat diformulasikan sbb :

\overline{\overline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\overline{\overline{H}}^T+\overline{\overline{H}})

Dari postingan lalu, tensor Hencky telah didefinisikan sbb:

\overline{\overline{H}}=\frac{\partial\overrightarrow{U}}{\partial\overrightarrow{X}}

Tensor Hencky adalah gradien dari vektor perpindahan \overrightarrow{U}, atau dalam bentuk indeksial

\overline{\overline{H_{ij}}}=\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}}

Kemudian substitusikan ke persamaan small deformationnya sebelumnya menjadi:

\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}((\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}})^T+\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}})

\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial\overrightarrow{U_j}}{\partial\overrightarrow{X_i}}+\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}})

Disini ada 2 kemungkinan, yaitu saat nilai i=j dan saat nilai i\neq j.

Saat nilai indeks-nya i=j, maka kita miliki deformasi yang dikenal sebagai deformasi aksial!!

\epsilon_{ii}=\frac{1}{2}(\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_i}}+\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_i}})

\epsilon_{ii}=\frac{1}{2}(2\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_i}})

\epsilon_{ii}=\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_i}}

Sedangkan saat nilai indeksnya i\neq j, maka kita miliki persamaan deformasi geser 🙂

\overline{\overline{\epsilon_{ij}}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial\overrightarrow{U_j}}{\partial\overrightarrow{X_i}}+\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}})

Sekarang bagaimana menginterpretasikan deformasi geser dan deformasi aksial? Perhatikan gambar dibawah ini

deformasi-aksial-dan-geser

Gambar diatas memberikan ilustrasi dua buah batang yang mengalami deformasi yang berbeda. Warna hijau adalah batang di kondisi inisial, sedangkan warna merah adalah batang di kondisi akhirnya.

Menggunakan persamaan sebelumnya, saya akan menghitung besarnya deformasi aksial \epsilon_{22} pada batang kiri yang mengalami perpindahan \overrightarrow{U}_2

\epsilon_{ii}=\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_i}}

\epsilon_{22}=\frac{\partial\overrightarrow{U_2}}{\partial\overrightarrow{X_2}}

Sedangkan deformasi geser \epsilon_{12} untuk batang di kanan yang mengalami perpindahan \overrightarrow{U}_1\neq 0 dan \overrightarrow{U}_2 = 0 dapat dihitung sbb :

\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial\overrightarrow{U_j}}{\partial\overrightarrow{X_i}}+\frac{\partial\overrightarrow{U_i}}{\partial\overrightarrow{X_j}})

\epsilon_{12}=\frac{1}{2}(\frac{\partial\overrightarrow{U_2}}{\partial\overrightarrow{X_1}}+\frac{\partial\overrightarrow{U_1}}{\partial\overrightarrow{X_2}})

\epsilon_{12}=\frac{1}{2}(0+\frac{\partial\overrightarrow{U_1}}{\partial\overrightarrow{X_2}})

\epsilon_{12}=\frac{\partial\overrightarrow{U_1}}{2\partial\overrightarrow{X_2}}

Penutup

Sebagai penutup, saya mau akhiri dengan judul postingan diatas…

Jadi sebenarnya translasi + rotasi sama dengan apa?

Nanti saya jabarkan di postingan selanjutnya :mrgreen:

Iklan

Trackbacks

  1. […] Di salah satu tulisan lalu, saya telah membahas mengenai deformasi yang dapat dibedakan menjadi deformasi aksial dan deformasi geser. […]

  2. […] dari bagian ini adalah: Butiran tanah seperti semua material padat lainnya, saat dibebani ia akan berdeformasi dan pada akhirnya hancur menjadi butiran yang lebih […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: