Transformasi Homogen

Deformasi vs Transformasi

Di salah satu tulisan lalu, saya telah membahas mengenai deformasi yang dapat dibedakan menjadi deformasi aksial dan deformasi geser.

Deformasi aksial mengubah besarnya volume elemen, sedangkan deformasi geser hanya mengubah bentuk elemen.

Pertama-tama, saya harus menekankan perbedaan mendasar antara transformasi dan deformasi.

Secara sederhana tensor transformasi mentransformasi sebuah vektor dari posisi awalnya ke posisi akhirnya.

Sedangkan tensor deformasi merupakan suatu tensor yang menggambarkan besarnya perubahan bentuk/ukuran dari suatu elemen antara kondisi awal dan akhirnya.

Perubahan ukuran (volume) dipengaruhi oleh besarnya deformasi aksial elemen saja, sedangkan perubahan bentuk dapat dipengaruhi deformasi aksial dan geser baik secara sendiri-sendiri atau bersamaan.

Nah, sampai disini saya harap sudah cukup jelas bahwa deformasi bukan menggambarkan perpindahan, melainkan menggambarkan perubahan bentuk/ukuran.

Transformasi Homogen

Postingan ini sesungguhnya merupakan jawaban dari postingan yang lalu yang mempertanyakan relasi translasi + rotasi

Untuk menjawab pertanyaan ini, pertama-tama kita ambil suatu kasus dimana suatu objek bertransformasi, namun tidak dapat mengalami deformasi sama sekali (rigid).

Bagaimana transformasinya? perhatikan gambar dibawah ini

Translasi dan Rotasi

Pada gambar diatas suatu vektor pada posisi inisial ditransformasi menjadi vektor pada posisi akhir, namun panjang vektor ini tidak berubah (karena objek rigid)

Kita dapat formulasikan transformasi diatas sbb:

Penulisan diatas merupakan penulisan dengan representasi non-homogen.

Vektor merupakan vektor yang mentranslasi vektor

Sedangkan tensor merupakan tensor rotasional. Seperti kita lihat pada gambar diatas, tensor ini merotasi sistem sumbu vektor dari posisi awalnya (warna biru) ke posisi akhirnya (warna merah)

Dengan menggunakan representasi homogen, maka kita dapat tuliskan persamaan diatas menjadi:

Bagaimana caranya ? Caranya adalah dengan menambahkan nilai  (yang selalu bernilai ) pada vektor posisi dan

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjabaran berikut

Secara sederhana, dengan representasi homogen kita dapat menuliskan transformasi translasional dan rotasional hanya dengan menggunakan sebuah tensor transformasi saja

Tensor orthogonal

Karena diatas saya menyinggung mengenai tensor rotasi, tentunya saya harus menjelaskan sedikit mengenai tensor orthogonal

Tensor rotasi adalah tensor orthogonal, yaitu tensor yang memenuhi hubungan berikut

Transpose dari tensor rotasional, harus sama nilainya dengan invers dari tensor rotasional tersebut. Sehingga dapat kita tulis juga persamaan diatas sbb:

Serta selain itu nilai determinannya harus sama dengan satu

Namun ini tidak berarti bahwa semua determinan yang bernilai satu adalah tensor rotasional.

Properti ini sangat bermanfaat saat kita harus menurunkan atau mengecek validitas dari tensor rotasional.

Penutup

Jadi menjawab pertanyaan di postingan yang lalu, relasi translasi+rotasi sama dengan transformasi rigid

Transformasi rigid dapat disederhanakan dengan ringkas menggunakan transformasi yang dikenal dengan nama transformasi homogen

Transformasi homogen dengan sistem koordinat homogen ini banyak digunakan geometri 3D

Pertanyaan yang muncul berikutnya adalah apakah untuk vektor yang mengalami perubahan panjang diakomodasi juga dalam tensor transformasi?

Jawabannya ya!! Bagian dari tensor transformasi yang dapat mengubah panjang dari vektor dikenal dengan tensor deformasi murni

Tensor deformasi murni tidak sama dengan tensor deformasi, pembahasan mengenai tensor deformasi murni kemungkinan memerlukan pembahasan terpisah yang akan saya bahas nanti.

😎