Persamaan Bernoulli

Pada bidang ilmu mekanika fluida, persamaan kekekalan energi untuk kasus air yang incompressible lebih tenar dengan nama persamaan Bernoulli.

pipe-bernoulli

Aliran air pada pipa

Persamaan ini dapat diturunkan dengan mudah dari persamaan dinamik (gerak) Newton. Meskipun relatif mudah, namun penurunannya memerlukan pengetahuan dasar mekanika kontinum khususnya soal tegangan dan deformasi (regangan).

Tulisan ini saya buat karena saya pada beberapa posting mendatang, saya ingin membahas mengenai aliran air pada tanah, yang tentunya pada beberapa kasus harus menggunakan persamaan Bernoulli.

Untuk memahami posting berikut, tidak ada salahnya membaca dua potongan tulisan sebelumnya mengenai introduksi hukum gerak Newton dan review hukum kekekalan momentum.

Untuk menurunkan persamaan energi, saya akan mulai dari hukum kekekalan momentum sbb:

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

Yang mana setelah menggunakan persamaan Gauss/Green/Ostogradsky, dapat ditulis menjadi

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\rho \overrightarrow{f}

Pertama-tama kalikan vektor kecepatan \overrightarrow{V} ke persamaan diatas

\overrightarrow{V}.\rho\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}=\overrightarrow{V}.\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}

Setelah mengalikan dengan \overrightarrow{V}, maka perubahan momentum menurut waktu yang sesungguhnya merupakan gaya (force) berubah menjadi perubahan usaha (energi) menurut waktu (daya).

Terms pertama dari persamaan diatas dapat disederhanakan dengan mengetahui turunan parsial dibawah ini

\frac{DV^2}{Dt}=\frac{D}{Dt}(\overrightarrow{V}.\overrightarrow{V})=\overrightarrow{V}.\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}+\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}.\overrightarrow{V}=2\overrightarrow{V}.\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}

\frac{1}{2} \frac{DV^2}{Dt}=\overrightarrow{V}.\frac{D\overrightarrow{V}}{Dt}

Sehingga bila kita injeksikan persamaan diatas ke persamaan sebelumnya diperoleh

\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}=\overrightarrow{V}.\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}

Untuk memecah persamaan diatas dan mengetahui berapa besarnya daya yang bekerja di internal dan eksternal elemen material, maka kita dapat memecahnya dengan menjabarkan divergensi dibawah ini.

div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}).\overrightarrow{V}+\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{grad}}\overrightarrow{V}

Perhatikan bahwa tanda “:” merupakan lambang double dot product, sedangkan \overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}) merupakan divergensi dari tensor orde 2 yang tentunya akan menghasilkan vektor. Di sisi lain gradien dari vektor \overrightarrow{V} akan menghasilkan tensor \overline{\overline{grad}}\overrightarrow{V}

Hal menarik dari persamaan diatas adalah terms ketiganya yang mana \overline{\overline{grad}}\overrightarrow{V} adalah tensor gradien kecepatan. Saya belum pernah menulis tentang tensor ini, namun secara prinsip sama dengan tensor gradien perpindahan (Hencky) yang pernah saya tulis sebelumnya.

Tensor gradien kecepatan ini dapat didekomposisi menjadi tensor kecepatan deformasi yang bertanggungjawab terhadap perubahan bentuk dan tensor kecepatan rotasi.

\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{grad}}\overrightarrow{V}=\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}+\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{\Omega}}=\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}

Terms \overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{\Omega}} bernilai nol karena produk double dot dari tensor simetrik \overline{\overline{\sigma}} dan tensor antisimetrik \overline{\overline{\Omega}} pasti bernilai nol.

Bila kita gabungkan 2 persamaan terakhir, maka:

div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}).\overrightarrow{V}+\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}

\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}).\overrightarrow{V}=div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})-\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}

\overrightarrow{V}.\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}})=div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})-\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}

Sehingga persamaan dayanya menjadi

\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}=\overrightarrow{V}.\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}

\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}=div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})-\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}+\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}

Bila persamaan diatas berlaku untuk suatu volume material tertentu, maka

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv=\int div(\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V})dv-\int\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}dv+\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv

Menggunakan teori divergensi Gauss/Green/Ostogradsky, maka terms kedua persamaan diatas dapat diubah menjadi

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv=\int (\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{V}).\overrightarrow{n}dA-\int\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}dv+\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv

Karena kita tahu adanya tensor tegangan Cauchy dimana vektor tegangan dapat didefinisikan sbb

\overrightarrow{T}=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}

Maka persamaan perubahan energinya dapat ditulis

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv=\int (\overrightarrow{T}.\overrightarrow{V})dA-\int\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}dv+\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv

Atau agar lebih jelas, masing-masing terms diatas dijelaskan sbb:

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv = \text{perubahan energi kinetik menurut waktu}

\int (\overrightarrow{T}.\overrightarrow{V})dA = \text{perubahan energi eksternal di permukaan material menurut waktu}

-\int\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}dv = \text{perubahan energi internal material menurut waktu}

\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv = \text{perubahan energi eksternal di volume material menurut waktu}

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli sesungguhnya adalah persamaan energi diatas. Persamaan Bernoulli berlaku untuk fluida sempurna, tanpa disipasi energi, dan incompressible.

Agar memperoleh persamaan Bernoulli yang umum kita lihat di buku teks, maka pertama kita harus hapus bagian perubahan energi internal material. Ini disebabkan karena air diasumsikan incompressible.

-\int\overline{\overline{\sigma}}:\overline{\overline{D}}dv=0

Sehingga persamaan dayanya menjadi:

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv=\int (\overrightarrow{T}.\overrightarrow{V})dA+\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv

\int\frac{1}{2} \rho\frac{DV^2}{Dt}dv-\int (\overrightarrow{T}.\overrightarrow{V})dA-\int\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}dv=0

\frac{1}{2} \rho v \frac{DV^2}{Dt}-(\overrightarrow{T}.\overrightarrow{V})A-\overrightarrow{V}.\rho \overrightarrow{f}v=0

Karena kita tahu kecepatan adalah gradien perpindahan menurut waktu \overrightarrow{V}=\frac{D\overrightarrow{u}}{Dt}, kita dapat modifikasi sedikit persamaan diatas menjadi

\frac{1}{2} \rho v \frac{DV^2}{Dt}-(\overrightarrow{T}.\frac{D\overrightarrow{u}}{Dt})A-\frac{D\overrightarrow{u}}{Dt}.\rho \overrightarrow{f}v=0

Dari sini sudah mulai terlihat bentuk persamaannya, terms pertama adalah perubahan energi kinetik menurut waktu, terms kedua adalah usaha yang diaplikasikan ke suatu area menurut waktu, sedangkan terms ketiga adalah perubahan energi potensial menurut waktu.

Karena tidak ada disipasi energi, maka daya yang diaplikasikan ke sistem nol, sehingga energinya konstan menurut waktu, oleh karena itu, kita dapat tuliskan persamaan diatas dalam bentuk energi sbb:

\frac{1}{2} \rho v V^2-(\overrightarrow{T}.\overrightarrow{u})A-\overrightarrow{u}.\rho \overrightarrow{f}v=\text{cst}

Term pertama adalah energi kinetik

\text{Term 1} = \frac{1}{2} \rho v V^2

Term kedua adalah usaha yang diaplikasikan ke suatu permukaan tertentu. Kita dapat memodifikasi terms ini, pertama-tama dengan mengaplikasikan hubungan tensor tegangan Cauchy \overrightarrow{T}=\overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}. Kemudian dengan mengetahui bahwa untuk kondisi kasus incompressible dan tak terdisipasi, maka tensor tegangan Cauchy hanya terdiri dari bagian reversible-nya saja yang berupa tekanan, maka \sigma=\sigma_R=-P\overline{\overline{I}}. Sehingga term kedua dapat dimodifikasi sbb:

\text{Term 2}=-(\overrightarrow{T}.\overrightarrow{u})A

\text{Term 2}=-(\overline{\overline{\sigma}} \overrightarrow{n}. \|u\| \overrightarrow{n})A

\text{Term 2}=-(-P\overline{\overline{I}} \overrightarrow{n}. \|u\| \overrightarrow{n})A

\text{Term 2}=Pv

Term ketiga adalah energi potensial dimana \overrightarrow{f} adalah percepatan gravitasi -\overrightarrow{g}

\text{Term 3}=-\overrightarrow{u}.\rho \overrightarrow{f}v

\text{Term 3}=-\overrightarrow{u}.\rho v (-\overrightarrow{g})

\text{Term 3}=\overrightarrow{u}.\rho v \overrightarrow{g}

Bila kita gabungkan ketiga terms diatas diperoleh

\frac{1}{2} \rho v V^2-(\overrightarrow{T}.\overrightarrow{u})A-\overrightarrow{u}.\rho \overrightarrow{f}v=\text{cst}

\frac{1}{2} \rho v V^2+Pv+\overrightarrow{u}.\rho v \overrightarrow{g}=\text{cst}

Dan akhirnya kita dapatkan persamaan yang tenar dengan nama persamaan Bernoulli :mrgreen:

\frac{1}{2} \rho V^2+P+\rho \overrightarrow{g}.\overrightarrow{u}=\text{cst}

Karena total energi pada potongan tampang manapun bernilai konstan, maka persamaan diatas seringkali ditulis

\frac{1}{2} \rho V^2+P+\rho \overrightarrow{g}.\overrightarrow{u}=\text{cst}

Dengan terms pertama dikenal sebagai dynamic pressure, sedangkan penjumlahan terms kedua dan ketiga dikenal sebagai static pressure.

Atau dalam bentuk tinggi tekanan dapat ditulis menjadi:

\frac{1}{2\overrightarrow{g}} V^2+\frac{P}{\rho\overrightarrow{g}}+\overrightarrow{u}=\text{cst}

Dimana terms pertama dikenal sebagai velocity head, terms kedua merupakan pressure head, dan terms ketiga adalah elevation head. Total dari semuanya dikenal sebagai tinggi total tekanan (total head).

Gimana? Setelah menurunkan persamaan diatas, kita bisa melihat sedikit bagaimana koneksi antara mekanika kontinum dengan persamaan Bernoulli yang telah kita pelajari sejak di bangku sekolah menengah atas 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] Catatan lainnya adalah soal tekanan , dimana seluruh simbol yang ditulis dibagian ini menyatakan total pressure, bukan tinggi pressure dari kontribusi tekanan di permukaan (pressure head) seperti yang telah dibahas sebelumnya di persamaan Bernoulli. […]

  2. […] Disini kita harus mengkalkulasi besarnya gradien hidrolik . Untuk dapat mengkalkulasi ini, kita harus benar-benar paham Hukum Bernoulli berikut: […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: