Aliran Air di Kerangka Solid – Hukum Darcy

Hukum Darcy adalah suatu hukum phenomenologic (empirik) dari debit aliran air yang diformulasikan oleh Henry Darcy berdasarkan hasil eksperimental yang dilakukannya pada paruh pertama abad ke 19.

henry-darcy

Henry Darcy

Memahami Hukum Darcy merupakan langkah besar dalam memahami bagaimana proses rembesan (seepage) terjadi didalam tanah.

Persamaan ini tidak mudah dipahami 🙄 bila kita tidak mengetahui dasar-dasar mekanika kontinum, sehingga seringkali kita terpaksa menghafalkan formulasi Hukum Darcy ini tanpa memahami bagaimana dan mengapa persamaan tersebut dapat diperoleh.

Meskipun tadi telah saya katakan bahwa pada awalnya Hukum Darcy diformulasikan secara phenomenologic, namun persamaan ini sesungguhnya dapat diturunkan dari persamaan Newton.

Tulisan kali ini akan membahas formulasi Hukum Darcy dan bagaimana ia dapat diturunkan dari Hukum Gerak Newton.

Hukum Konstitutif

Hukum konstitutif atau persamaan konstitutif adalah persamaan yang menghubungkan dua besaran fisika.

Contoh paling sederhana dari hukum konstitutif adalah Hukum Hooke yang menyatakan bahwa pada kondisi elastis, hubungan tegangan dan regangan satu dimensi dapat diformulasikan sbb:

\sigma=E\epsilon

Dimana dua besaran yang dihubungkan dalam hukum Hooke diatas adalah tegangan dan regangan. Hukum konstitutif sangat beragam, dan beberapa hukum konstitutif sangat sering kita gunakan dalam dunia teknik secara umum.

Bila kita sering menggunakan berbagai program elemen hingga, secara otomatis kita telah menggunakan berbagai persamaan konstitutif yang tentunya sangat beragam. Tergantung dari material yang akan digunakan, perilaku material yang ingin dimodelkan (elastis, plastis, dsb), jenis beban yang diberikan (statik, dinamik), dan lain sebagainya.

Pada banyak kasus, penggunaan hukum konstitutif yang tepat sangat instrumental dalam usaha mendapatkan prediksi perilaku struktur/material yang representatif.

Saya sengaja menyinggung hukum konstitutif secara singkat, karena ini berkaitan dengan proses penurunan di bagian selanjutnya.

Persamaan Navier-Stokes

Persamaan ini dinamai dari dua orang insinyur dan matematikawan, yang masing-masing bernama Claude Louis Navier dari Prancis dan George Gabriel Stokes dari Inggris.

Memahami persamaan ini akan membuka pintu dalam memahami berbagai formulasi dalam mekanika benda padat (solid mechanics), maupun mekanika fluida (fluid mechanics).

Bila mencermati tulisan saya yang sebelum ini mengenai persamaan Bernoulli. Sesungguhnya saya telah menurunkan persamaan Navier-Stokes secara umum.

Dimana persamaan Navier-Stokesnya? :mrgreen:

Saya akan kembali mengulas posting sebelumnya, pertama-tama tentunya dimulai dari hukum gerak Newton

\frac{D}{Dt}(\int \rho\overrightarrow{V} dv)=\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv

Untuk lebih memahami persamaan ini, silakan membaca ulasan saya mengenai hukum gerak Newton.

Menggunakan teori Gauss/Green/Ostogradsky, kita dapat tuliskan persamaan diatas menjadi:

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}+\rho \overrightarrow{f}

Karena kita tahu bahwa tensor tegangan Cauchy terdiri dari bagian spherical dan deviatoriknya:

\overline{\overline{\sigma}}=\sigma_{m}\overline{\overline{I}}+\overline{\overline{\sigma}}_{d}

\overline{\overline{\sigma}}=-p\overline{\overline{I}}+\overline{\overline{\sigma}}_{d}

Maka persamaan sebelumnya dapat ditulis menjadi

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=\overrightarrow{div}(-p\overline{\overline{I}}+\overline{\overline{\sigma}}_{d})+\rho \overrightarrow{f}

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=-\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})+\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}_{d})+\rho \overrightarrow{f}

Inilah salah satu bentuk paling umum dari persamaan Navier-Stokes. Saya katakan umum karena biasanya di turunan persamaan Navier-Stokes kita juga memasukkan hukum konstitutif dari material yang terkait.

Persamaan Stokes

Kalau persamaan diatas sudah dipahami, sekarang untuk kasus aliran air yang laminer, alias yang memiliki angka Reynolds rendah, maka kita menyederhanakan persamaan Navier-Stokes diatas menjadi persamaan Stokes. Cat: Angka Reynolds merupakan angka tak berdimensi yang menggambarkan perilaku fluida yang laminer/turbulen.

Pada kasus rembesan (seepage), kecepatan aliran air sangat lambat, oleh karena itu aliran fluidanya laminer, oleh karena itu kita dapat mengabaikan efek inertia dari hukum gerak Newton.

\frac{D}{Dt}(\rho\overrightarrow{V})=0

Sehingga hanya kesetimbangan gaya saja yang tersisa, ini analog dengan kasus statik pada problem struktur. Oleh karena itu persamaan Navier-Stokes diatas dapat ditulis dalam persamaan Stokes berikut:

0=-\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})+\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}_{d})+\rho \overrightarrow{f}

\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})=\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}_{d})+\rho \overrightarrow{f}

Fluida Newtonien

Sekarang bayangkan suatu fluida mengalir di suatu permukaan tertentu. Coba imajinasikan bahwa yang mengalir adalah sup. Sup adalah fluida yang memiliki viskositas yang terlihat dengan jelas.

soup-viscous

Fluida dengan viskositas yang tidak dapat diabaikan :mrgreen: (Coconut Curry Butternut Squash Soup)

Apa yang terjadi? Tentu saja kecepatan fluida tersebut didalam pipa tidak akan seragam (uniform).

laminer-shear

Fluida Newtonian mengalir di suatu permukaan (sumber)

Ketidakseragaman kecepatan aliran fluida ini menghasilkan tegangan deviatorik (geser), yang mana untuk fluida dengan tipe Newtonien (fluida yang memiliki hubungan linear antara tegangan geser dan kecepatan deformasi) dapat diformulasikan dengan persamaan konstitutif berikut:

\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\mu\overline{\overline{D}}

\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\mu(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})

Persamaan diatas terlihat rumit, namun sebenarnya hanya menjelaskan bahwa untuk fluida Newtonien, tegangan deviatorik di fluida \overline{\overline{\sigma}}_{d} dan kecepatan deformasinya \overline{\overline{D}}=(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}), memiliki hubungan linear dengan konstanta \mu yang menyatakan tingkat viskositas dari fluida yang bersangkutan.

Karena pada aliran fluida diatas, hanya kecepatan pada arah paralel permukaan yang bervariasi pada arah vertikal penampang, maka hanya salah satu arah dari (\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}) yang memiliki nilai, sehingga persamaan konstitutifnya seringkali ditulis menjadi

\overline{\overline{\sigma}}_{d}=\mu(\frac{\partial v_x}{\partial x_y})

Dengan x adalah arah paralel permukaan

Untuk kasus yang lebih umum, bila kita injeksikan hukum konstitutif diatas ke persamaan Stokes, maka kita peroleh:

\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})=\overrightarrow{div}(\overline{\overline{\sigma}}_{d})+\rho \overrightarrow{f}

\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})=\overrightarrow{div}(\mu\overline{\overline{D}})+\rho \overrightarrow{f}

\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})=\mu\overrightarrow{div}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})+\rho \overrightarrow{f}

Hukum Darcy dari persamaan Stokes

Persamaan terakhir diatas dapat kita atur ulang sbb:

\overrightarrow{div}(\overline{\overline{D}})=\frac{1}{\mu}(\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})-\rho \overrightarrow{f})

Persamaan diatas berlaku untuk kasus material satu fasa (fluida saja).

Sekarang bagaimana bila yang diamati adalah fluida yang mengalir didalam kerangka solid (dalam hal ini misalnya tanah)? Dalam hal ini tentunya kita harus memasukkan pengaruh permeabilitas aliran didalam tanah.

Term \overrightarrow{div}(\overline{\overline{D}}) menyatakan kecepatan fluida. Dengan tidak melupakan bahwa terms ini adalah kecepatan aliran fluida didalam tanah pada suatu penampang tertentu, maka anggap ada sebuah koefisien permeabilitas intrinsik k (m^2) yang merelasikan kecepatan fluida “murni” dan kecepatan fluida didalam kerangka solid tanah sbb:

\overrightarrow{u}_s=k\overrightarrow{div}(\overline{\overline{D}})

Dengan \overrightarrow{u}_s adalah kecepatan aliran air didalam tanah pada suatu penampang tertentu. Sehingga persamaan Darcy-nya menjadi:

\overrightarrow{u}_s=\frac{k}{\mu}(\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})-\rho \overrightarrow{f})

Dengan \overrightarrow{f} adalah percepatan gravitasi -\overrightarrow{g} sehingga

\overrightarrow{u}_s=\frac{k}{\mu}(\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})+\rho \overrightarrow{g})

Persamaan diatas merupakan persamaan Darcy tergeneralisasi (umum)

Hukum Darcy dari eksperimen Darcy

Sekarang bandingkan dengan persamaan Darcy yang secara tradisional kita temui di buku-buku teks:

\overrightarrow{Q}=KiA

\overrightarrow{Q}=K\frac{\Delta h}{L}A

Dengan:

\overrightarrow{Q}=\text{debit aliran } m^3/s

K=\text{konduktivitas hidrolik } m/s

A=\text{luas penampang } m^2

i=\frac{\Delta h}{L}=\text{gradien hidrolik }

Apa yang ingin disampaikan persamaan ini? Persamaan ini mengatakan bahwa kecepatan aliran air untuk suatu penampang tertentu \frac{\overrightarrow{Q}}{A}, sama dengan suatu koefisien konduktivitas hidrolik K dikalikan dengan gradien hidroliknya i.

Jangan lupa bahwa dalam hal ini, energi yang memobilisasi aliran fluida adalah gradien hidrolik dari fluida itu sendiri.

Pada eksperimen ini, air dilewatkan melalui sebuah sampel pasir, dengan tekanan pada kedua ujung dimana air masuk dan keluar diamati besarnya selama percobaan.

Persamaan phenomenologic diatas diperoleh Darcy dari uji eksperimen dengan skematis yang dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

skematis-uji-Darcy

Skematis eksperimen Darcy

Komparasi Hukum Darcy dari penurunan kontinum dan empirik

Sekarang untuk membandingkan kedua hukum Darcy diatas, saya akan ubah persamaan Darcy klasik dalam bentuk berikut

\overrightarrow{Q}=K\frac{\Delta h}{L}A

\frac{\overrightarrow{Q}}{A}=K\frac{\Delta h}{L}

\frac{\overrightarrow{Q}}{A}=\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}} \frac{\rho \overrightarrow{g}\Delta h}{L}

Disini konduktivitas hidrolik K didefinisikan sbb:

K=\frac{k\rho \overrightarrow{g}}{\mu}

Dengan k adalah koefisien permeabilitas intrinsik. Sehingga persamaan Darcy “klasik” diatas dapat kita atur ulang sbb:

\frac{\overrightarrow{Q}}{A}=\frac{k}{\mu}\frac{\rho \overrightarrow{g}\Delta h}{L}

\overrightarrow{u}_s=\frac{k}{\mu}(\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}}))

Bandingkan dengan persamaan Darcy yang diperoleh dari penurunan kontinum atau sering kali dikenal sebagai Generalized Darcy’s Law

\overrightarrow{u}_s=\frac{k}{\mu}(\overrightarrow{div}(p\overline{\overline{I}})+\rho \overrightarrow{g})

Satu-satunya perbedaan adalah pada term \rho \overrightarrow{g} yang merupakan densitas fluida didalam tanah.

Terms ini tidak ada pada persamaan Darcy klasik dan hanya akan berpengaruh bila didalam kerangka solid mengalir dua jenis fluida yang berbeda kerapatan. Misalnya di daerah pantai yang mengalami pertemuan antara air asin dan tawar, keduanya tentu saja akan memiliki kerapatan fluida yang berbeda, sehingga pada kasus demikian kita harus memperhitungkan perbedaan kerapatan tersebut.

Namun melihat bagaimana kedua persamaan tersebut sangat dekat meskipun persamaan Darcy klasik diperoleh dari hasil eksperimental menunjukkan bagaimana luar biasanya persamaan Darcy klasik.

Catatan lainnya adalah soal tekanan p, dimana seluruh simbol p yang ditulis dibagian ini menyatakan total pressure, bukan tinggi pressure P dari kontribusi tekanan di permukaan (pressure head) seperti yang telah dibahas sebelumnya di persamaan Bernoulli.

Nah setelah melihat detail penjabaran ini, sekarang kita bisa melihat bahwa persamaan Darcy bukan hanya sekedar persamaan empirik “curve fitting, namun ternyata memang konsisten dengan persamaan klasik mekanika. Sehingga sekarang persamaan Darcy bukan hanya sekedar persamaan biasa, namun telah bertingkat “law/hukum”.

PS : Catatan tambahan lainnya adalah soal kesepakatan tanda negatif yang umumnya ditambahkan di persamaan Darcy (diatas saya tidak menggunakan tanda negatif). Tanda negatif menyatakan debit air yang keluar dari kerangka solid.

😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] posting yang lalu mengenai hukum Darcy, kita telah melihat bahwa kecepatan rembesan tergantung dari permeabilitas tanah dan tentunya […]

  2. […] Setelah melihat bagaimana jaring aliran (flownet) diformulasikan pada posting yang lalu. Sekarang kita tahu bahwa penggambaran jaring aliran pada dasarnya merupakan penggambaran persamaan kontinuitas dari tinggi potensial aliran air berdasarkan Hukum Darcy. […]

  3. […] persamaan kontinuitas dari tinggi potensial hidrolik, yang mana persamaan tersebut didasarkan pada Hukum Darcy. Di tulisan kali ini, saya akan mencoba menyelesaikan variasi problem rembesan/aliran air pada […]

  4. […] gradien hidrolik dapat dievaluasi dengan menggunakan properti offset, formulasinya didasarkan pada hukum Darcy yang memformulasikan hubungan antara kecepatan aliran dan gradien hidrolik […]

  5. […] Pada kasus A diatas, kita amati suatu aliran air yang melewati suatu tanah anisotrop, dengan arah paralel terhadap lapisan antar tanah. Pertama-tama tentunya kita tahu bahwa aliran air dapat terjadi karena adanya gradien hidrolik yang dimanifestasi dalam Hukum Darcy […]

  6. […] Formulasi aliran air didalam tanah dipenuhi oleh Hukum Darcy […]

  7. […] merupakan beda tinggi hidrolik dan yang merupakan panjang aliran (baca juga tulisan saya mengenai Hukum Darcy). Penambahan cutoff wall ini sebenarnya menambah panjang aliran !! Jika menggunakan metode grafis […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: