Jaring Aliran (Flownet) – Formulasi

Dari posting yang lalu mengenai hukum Darcy, kita telah melihat bahwa kecepatan rembesan tergantung dari permeabilitas tanah dan tentunya gradien hidrolik yang ada.

Namun bagaimana mengaplikasikan Hukum Darcy secara umum pada suatu problem geoteknik? Ini problematik… Pertanyaan utama yang muncul, bagaimana menghitung gradien hidrolik pada titik tertentu di tanah.

Untuk memahami bagaimana mengaplikasikan Hukum Darcy pada kondisi tanah yang “sebenarnya”, maksudnya bukan tanah yang memiliki penampang konstan seperti pada eksperimen Darcy, maka kita harus mengaplikasikan apa yang dikenal sebagai hukum kontinuitas, atau dalam hal ini adalah hukum kekekalan massa.

Apa itu jaring aliran (flownet)? Jaring aliran merupakan penggambaran hukum kontinuitas aliran air didalam tanah, umumnya digunakan untuk tanah dengan batasan tertentu (akan dibahas lebih lanjut nanti).

Misalnya pada kasus bendungan pada gambar dibawah ini, bila kita telah mengetahui beda gradien hidrolik total dari bagian hulu dan hilir bendungan, maka kita dapat menggambarkan jaring aliran yang terjadi di dalam pasir (homogeneous sand).

flow-net

Contoh kasus dimana kita bisa menggunakan pendekatan jaring aliran (flownet) (sumber)

Flownet merupakan metode grafis yang awalnya dikembangkan oleh Philipp Forchheimer seorang Insinyur Austria dan disempurnakan oleh Arthur Casagrande, seorang insinyur Amerika yang merupakan salah satu dari pengembang pertama bidang keilmuan mekanika tanah. (sumber: wiki)

Mengapa kita memerlukan jaring aliran? Sebelum beberapa dekade terakhir, belum ada perangkat lunak komersial yang dapat dengan mudah mengkalkulasi kecepatan aliran air didalam tanah. Oleh karena itu pada saat itu metode grafis jaring aliran merupakan metode yang sangat powerful untuk mengkalkulasi kecepatan rembesan air.

Di perkuliahan seringkali kita hanya diajarkan bagaimana membuat jaring aliran dan menghitung kecepatan aliran dari jaring aliran yang telah dibuat, tanpa mengetahui 😦 mengapa kita bisa merepresentasikan rembesan tersebut dengan jaring aliran. Posting ini dibuat untuk menceritakan bagaimana jaring aliran sesungguhnya adalah representasi grafis dari persamaan kontinuitas. 😎

Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas yang saya maksud disini adalah hukum kekekalan massa. Pada posting mengenai hukum kekekalan massa saya telah membahas dan menurunkan persamaan kekekalan massa ini.

\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho \overrightarrow{V})=0

Persamaan tersebut juga telah saya bahas lebih jauh di posting mengenai fluida yang kompresibel dan inkompresibel. Pada kasus fluida yang inkompresibel, rumus diatas dapat disederhanakan menjadi

div(\overrightarrow{V})=0

Persamaan terakhir ini mengatakan bahwa bila fluida bersifat inkompresibel, maka kekekalan massa akan tercapai bila setiap volume elementer tanah memenuhi persyaratan persamaan diatas.

Kita juga dapat menuliskan persamaan tersebut sbb:

\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial x}+\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial y}+\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial z}=0

Kontinuitas aliran rembesan pada fluida inkompresibel

Dari hukum Darcy klasik, kita ketahui kecepatan aliran rembesan \overrightarrow{V} didefinisikan sbb:

\overrightarrow{V}=Ki

Dengan:

K=\text{Konduktivitas hidrolik }m/s

i=\text{Gradien hidrolik}

Dengan definisi kecepatan aliran rembesan dari hukum Darcy diatas, maka persamaan kontinuitas dari bagian sebelumnya dapat kita tuliskan menjadi:

\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial x}+\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial y}+\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial z}=0

\frac{\partial (K_x i_x)}{\partial x}+\frac{\partial (K_y i_y)}{\partial y}+\frac{\partial (K_z i_z)}{\partial z}=0

K_x \frac{\partial i_x}{\partial x}+K_y \frac{\partial i_y}{\partial y}+K_z \frac{\partial i_z}{\partial z}=0

Karena gradien hidrolik didefinisikan sebagai beda tekanan hidrolik disepanjang arah aliran rembesan, maka:

i_x=\frac{\partial h}{\partial x}

i_y=\frac{\partial h}{\partial y}

i_z=\frac{\partial h}{\partial z}

Sehingga

K_x \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial h}{\partial x})+K_y \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial h}{\partial y})+K_z \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial h}{\partial z})=0

K_x \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+K_y \frac{\partial^2 h}{\partial y^2}+K_z \frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0

Persamaan kontinuitas pada fluida inkompresibel dan tanah isotrop

Pada tanah isotrop, besarnya konduktivitas hidrolik K_x,K_y,K_z sama besarnya sama semua arah, dimana

K=K_x=K_y=K_z

Sehingga:

K \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+K \frac{\partial^2 h}{\partial y^2}+K \frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0

\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}=0

Ini merupakan bentuk persamaan harmonik yang dikenal dengan nama persamaan Laplace

Pada kasus 2D, persamaan Laplace diatas dapat disederhanakan menjadi:

\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

Persamaan inilah yang menggambarkan kontinuitas tinggi hidrolik aliran. Dari formulasi ini, kita dapat menggambarkan garis ekuipotensial, yang mana garis ini menyatakan titik-titik di gambar yang memiliki tinggi hidrolik yang sama (equivalent potential).

Dua garis ekuipotensial tentu saja membentuk apa yang dikenal sebagai beda potensial \Delta h, sehingga bila kita ketahui jarak antar garis ekuipotensial maka kita akan peroleh gradien hidroliknya i=\frac{\Delta h}{L}.

Bila kita ingat formulasi hukum Darcy yang menyatakan bahwa aliran air terjadi akibat beda gradien hidrolik, maka garis yang tegak lurus garis ekuipotensial otomatis merupakan garis aliran (stream line).

Hal inilah yang menyebabkan perpotongan antara garis ekuipotensial dan garis aliran harus tegak lurus.

flow-net-streamline

Bendungan dengan garis alirannya (sumber)

flow-net-streamline&ekuipotensial

Bendungan dengan garis aliran dan garis ekuipotensial (sumber)

Pada posting selanjutnya saya akan menunjukkan bagaimana caranya mencari solusi persamaan diatas menggunakan pendekatan beda hingga. 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] melihat bagaimana jaring aliran (flownet) diformulasikan pada posting yang lalu. Sekarang kita tahu bahwa penggambaran jaring aliran pada dasarnya merupakan […]

  2. […] formulasi persamaan kontinuitas telah diketahui bahwa beda tinggi hidrolik akan tegak lurus arah […]

  3. […] Salah satu teknik yang paling umum digunakan untuk mengkalkulasi kecepatan rembesan adalah dengan metode grafis jaring aliran (flownet), yang sesungguhnya merupakan representasi grafis dari persamaan Laplace (kalau penasaran formulasinya silahkan cek postingan saya ini). […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: