Setelah melihat bagaimana jaring aliran (flownet) diformulasikan pada posting yang lalu. Sekarang kita tahu bahwa penggambaran jaring aliran pada dasarnya merupakan penggambaran persamaan kontinuitas dari tinggi potensial aliran air berdasarkan Hukum Darcy.
Pada kasus 2 dimensi dengan fluida inkompresibel, maka persamaan kontinuitas dari tinggi potensial pada kasus rembesan diformulasikan dengan persamaan diferensial berikut:
Dimana untuk tanah isotrop persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:
Persamaan diatas merepresentasikan garis-garis ekuipotensial dalam solusi grafis 2D!!
Dari hasil penggambaran grafis, maka kita akan memperoleh:
- Garis ekuipotensial, yaitu garis yang menyatakan besar tinggi hidrolik/potensial yang sama.
- Garis aliran (rembesan), yaitu garis yang tegak lurus ekuipotensial yang menggambarkan gradien hidrolik aliran rembesan.
Di perkuliahan umumnya kita harus membuat garis ekuipotensial dan garis aliran diatas secara manual, sedemikian sehingga agar diperoleh hasil penggambaran yang baik, perlu kerapian yang baik dalam penggambarannya.
Karena saya bukan termasuk orang yang rapih saat menggambar :-(, maka tentu saja saya tidak akan menampilkan hasil penggambaran manual yang saya buat. 😆
Sebagai pengganti penggambaran manual, saya akan mendemonstrasikan bagaimana aproksimasi yang berbasiskan beda hingga (finite difference), dapat menggambarkan jaring aliran ini untuk berbagai variasi kasus.
Di posting ini saya akan jabarkan seluruh formulasi beda hingga yang diperlukan untuk mencari solusi persamaan kontinuitas yang dimiliki. Kemudian di posting mendatang, formulasi beda hingga ini akan saya aplikasikan di program spreadsheet (Excel) untuk mendapatkan grafis jaring aliran.
Pendekatan beda hingga (titik interior)
Mengapa kita memerlukan pendekatan beda hingga? Masih ingat diatas saya telah katakan bahwa sesungguhnya jaring aliran dibuat berdasarkan persamaan kontinuitas yang berbentuk persamaan diferensial? Beda hingga adalah salah satu pendekatan numerik yang dapat kita gunakan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial tersebut.
Beda hingga sendiri sesungguhnya didefinisikan sebagai nilai perbedaan dari dua titik. Ide dari metode beda hingga ini adalah mencari aproksimasi numerik sebuah titik berdasarkan nilai dari titik-titik lain disekitar titik tersebut. Ada 3 jenis beda hingga:
1. Forward difference
2. Backward difference
3. Central difference
Sekarang bila kita lihat persamaan diferensial yang saya tulis sebelumnya:
Fungsi skalar dalam merupakan fungsi tinggi potensial yang diturunkan dua kali terhadap
dan
. Inilah fungsi skalar yang akan diaproksimasi dengan beda hingga!!
Turunan pertama fungsi skalar masing-masing terhadap
dan
dengan pendekatan beda hingga adalah sbb:
(1). Pada arah horizontal
(2). Pada arah vertikal
Untuk selanjutnya saya hanya akan menggunakan central difference, maka turunan kedua (turunan dari turunan pertama) dari pendekatan central difference diatas adalah sbb:
(1). Pada arah horizontal
(2). Pada arah vertikal
Sehingga bila kita gabungkan persamaan diatas sesuai dengan persamaan Laplace yang kita miliki
Bila maka:
Inilah persamaan yang akan saya gunakan untuk menghitung nilai tinggi potensial untuk titik-titik (nodal) interior
Nilai tinggi potensial dari nodal interior akan tergantung dari keempat titik disekitar nodal interior tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.
Pendekatan beda hingga (titik di pinggir dan di sudut)
Namun bagaimana dengan titik-titik yang terletak di pinggir dan di sudut? Untuk mencari solusi lengkap dari metode beda hingga, kita harus mengetahui nilai dari seluruh titik disekitar titik yang akan kita cari. Sedangkan pada kebanyakan kasus yang kita miliki, tidak semua kondisi batas terdefinisi.
Misalnya seperti pada gambar dibawah ini, nilai titik tergantung dari keempat titik disekitarnya, namun titik
dan titik
tidak terdefinisi karena berada diluar daerah batas (boundary).
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, maka kita akan mengasumsikan bahwa pada daerah batas vertikal (vertical boundary) yang nilainya tidak diketahui, maka gradien hidrolik alirannya pada arah horizontal akan bernilai mendekati nol. Sedangkan pada daerah batas horizontal (horizontal boundary) yang nilainya tidak diketahui, maka gradien hidrolik alirannya pada arah vertikal akan bernilai mendekati nol.
Catatan: Asumsi ini mungkin dapat menyebabkan ketidaktepatan hasil solusi pada daerah didekat kondisi batas. Oleh karena itu lebar daerah tanah yang diobservasi harus cukup lebar agar solusi yang diperoleh tidak terpengaruh asumsi kondisi batas tersebut.
Implikasi dari asumsi diatas adalah sbb:
1. Vertical boundary
Kondisi batas:
Sehingga persamaan aproksimasi beda hingganya untuk kondisi batas vertikal di kiri menjadi:
Dan sebaliknya untuk kondisi batas vertikal di kanan menjadi:
2. Horizontal boundary
Kondisi batas:
Sehingga persamaan aproksimasi beda hingganya untuk kondisi batas horizontal di bawah menjadi:
Dan sebaliknya untuk kondisi batas horizontal di atas menjadi:
3. Kombinasi horizontal & vertical boundary
Pada kasus titik-titik di sudut, kita harus kombinasikan aproksimasi diatas, sehingga contohnya untuk titik di sudut kiri bawah, kita akan miliki formulasi beda hingga berikut:
Sedangkan untuk sudut lainnya masing-masing di kanan bawah, kanan atas, dan kiri atas adalah sbb:
Penutup
Di posting kali ini saya telah tuliskan dan jabarkan seluruh formula untuk mengkalkulasi besarnya tinggi hidrolik menggunakan pendekatan beda hingga. Pada posting mendatang saya akan aplikasikan formula-formula yang telah ditulis disini untuk membuat kurva jaring aliran menggunakan Excel
[…] sedikit, pada tulisan yang lalu saya telah membahas mengenai formulasi beda hingga untuk mendapatkan nilai aproksimasi dari persamaan kontinuitas dari tinggi potensial hidrolik, yang […]