Jaring Aliran (Flownet) – Solusi Persamaan Kontinuitas Dengan Beda Hingga

Setelah melihat bagaimana jaring aliran (flownet) diformulasikan pada posting yang lalu. Sekarang kita tahu bahwa penggambaran jaring aliran pada dasarnya merupakan penggambaran persamaan kontinuitas dari tinggi potensial aliran air berdasarkan Hukum Darcy.

Pada kasus 2 dimensi dengan fluida inkompresibel, maka persamaan kontinuitas dari tinggi potensial pada kasus rembesan diformulasikan dengan persamaan diferensial berikut:

K_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+K_y\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

Dimana untuk tanah isotrop persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:

\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

Persamaan diatas merepresentasikan garis-garis ekuipotensial dalam solusi grafis 2D!!

Dari hasil penggambaran grafis, maka kita akan memperoleh:

  • Garis ekuipotensial, yaitu garis yang menyatakan besar tinggi hidrolik/potensial yang sama.
  • Garis aliran (rembesan), yaitu garis yang tegak lurus ekuipotensial yang menggambarkan gradien hidrolik aliran rembesan.

Di perkuliahan umumnya kita harus membuat garis ekuipotensial dan garis aliran diatas secara manual, sedemikian sehingga agar diperoleh hasil penggambaran yang baik, perlu kerapian yang baik dalam penggambarannya.

Karena saya bukan termasuk orang yang rapih saat menggambar :-(, maka tentu saja saya tidak akan menampilkan hasil penggambaran manual yang saya buat. πŸ˜†

Sebagai pengganti penggambaran manual, saya akan mendemonstrasikan bagaimana aproksimasi yang berbasiskan beda hingga (finite difference), dapat menggambarkan jaring aliran ini untuk berbagai variasi kasus.

Di posting ini saya akan jabarkan seluruh formulasi beda hingga yang diperlukan untuk mencari solusi persamaan kontinuitas yang dimiliki. Kemudian di posting mendatang, formulasi beda hingga ini akan saya aplikasikan di program spreadsheet (Excel) untuk mendapatkan grafis jaring aliran.

Pendekatan beda hingga (titik interior)

Mengapa kita memerlukan pendekatan beda hingga? Masih ingat diatas saya telah katakan bahwa sesungguhnya jaring aliran dibuat berdasarkan persamaan kontinuitas yang berbentuk persamaan diferensial? Beda hingga adalah salah satu pendekatan numerik yang dapat kita gunakan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial tersebut.

Beda hingga sendiri sesungguhnya didefinisikan sebagai nilai perbedaan dari dua titik. Ide dari metode beda hingga ini adalah mencari aproksimasi numerik sebuah titik berdasarkan nilai dari titik-titik lain disekitar titik tersebut. Ada 3 jenis beda hingga:

1. Forward difference

\Delta f_{fd}=f(x+h)-f(x)

2. Backward difference

\Delta f_{bd}=f(x)-f(x-h)

3. Central difference

\Delta f_{cd}=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})

Sekarang bila kita lihat persamaan diferensial yang saya tulis sebelumnya:

\frac{\partial^2 h}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 h}{\partial^2 y}=0

Fungsi skalar dalam h merupakan fungsi tinggi potensial yang diturunkan dua kali terhadap x dan y. Inilah fungsi skalar yang akan diaproksimasi dengan beda hingga!!

Turunan pertama fungsi skalar h masing-masing terhadap x dan y dengan pendekatan beda hingga adalah sbb:

(1). Pada arah horizontal x

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial x})_{fd}=\frac{h(i+\Delta x,j)-h(i,j)}{\partial x}

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial x})_{bd}=\frac{h(i,j)-h(i-\Delta x,j)}{\partial x}

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial x})_{cd}=\frac{h(i+\frac{\Delta x}{2},j)-h(i-\frac{\Delta x}{2},j)}{\partial x}

(2). Pada arah vertikal y

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial y})_{fd}=\frac{h(i,j+\Delta y)-h(i,j)}{\partial y}

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial y})_{bd}=\frac{h(i,j)-h(i,j-\Delta y)}{\partial y}

(\frac{\partial h(i,j)}{\partial y})_{cd}=\frac{h(i,j+\frac{\Delta y}{2})-h(i,j-\frac{\Delta y}{2})}{\partial y}

Untuk selanjutnya saya hanya akan menggunakan central difference, maka turunan kedua (turunan dari turunan pertama) dari pendekatan central difference diatas adalah sbb:

(1). Pada arah horizontal x

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial x^2})_{cd}=\frac{\partial}{\partial x} (\frac{h(i+\frac{\Delta x}{2},j)-h(i-\frac{\Delta x}{2},j)}{\partial x})

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial x^2})_{cd}=\frac{1}{\partial x} (\frac{h(i+\Delta x,j)-h(i,j)}{\partial x}-\frac{h(i,j)-h(i-\Delta x,j)}{\partial x})

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial x^2})_{cd}=\frac{h(i-\Delta x,j)-2h(i,j)+h(i+\Delta x,j)}{\partial x^2}

(2). Pada arah vertikal y

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial y^2})_{cd}=\frac{\partial}{\partial y} (\frac{h(i,j+\frac{\Delta y}{2})-h(i,j-\frac{\Delta y}{2})}{\partial y})

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial y^2})_{cd}=\frac{1}{\partial y} (\frac{h(i,j+\Delta y)-h(i,j)}{\partial y}-\frac{h(i,j)-h(i,j-\Delta y)}{\partial y})

(\frac{\partial^2 h(i,j)}{\partial y^2})_{cd}=\frac{h(i,j-\Delta y)-2h(i,j)+h(i,j+\Delta y)}{\partial y^2}

Sehingga bila kita gabungkan persamaan diatas sesuai dengan persamaan Laplace yang kita miliki

\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

\frac{h(i-\Delta x,j)-2h(i,j)+h(i+\Delta x,j)}{\partial x^2}+\frac{h(i,j-\Delta y)-2h(i,j)+h(i,j+\Delta y)}{\partial y^2}=0

Bila \partial x=\partial y maka:

(h(i-\Delta x,j)-2h(i,j)+h(i+\Delta x,j))+(h(i,j-\Delta y)-2h(i,j)+h(i,j+\Delta y))=0

4h(i,j)=h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

Inilah persamaan yang akan saya gunakan untuk menghitung nilai tinggi potensial untuk titik-titik (nodal) interior (i,j)

Nilai tinggi potensial dari nodal interior akan tergantung dari keempat titik disekitar nodal interior tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

beda-hingga-interior

Nodal interior

Pendekatan beda hingga (titik di pinggir dan di sudut)

Namun bagaimana dengan titik-titik yang terletak di pinggir dan di sudut? Untuk mencari solusi lengkap dari metode beda hingga, kita harus mengetahui nilai dari seluruh titik disekitar titik yang akan kita cari. Sedangkan pada kebanyakan kasus yang kita miliki, tidak semua kondisi batas terdefinisi.

Misalnya seperti pada gambar dibawah ini, nilai titik (i,j) tergantung dari keempat titik disekitarnya, namun titik (i-1,j) dan titik (i,j+1) tidak terdefinisi karena berada diluar daerah batas (boundary).

Nodal "boundary"

Nodal “boundary”

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, maka kita akan mengasumsikan bahwa pada daerah batas vertikal (vertical boundary) yang nilainya tidak diketahui, maka gradien hidrolik alirannya pada arah horizontal akan bernilai mendekati nol. Sedangkan pada daerah batas horizontal (horizontal boundary) yang nilainya tidak diketahui, maka gradien hidrolik alirannya pada arah vertikal akan bernilai mendekati nol.

Catatan: Asumsi ini mungkin dapat menyebabkan ketidaktepatan hasil solusi pada daerah didekat kondisi batas. Oleh karena itu lebar daerah tanah yang diobservasi harus cukup lebar agar solusi yang diperoleh tidak terpengaruh asumsi kondisi batas tersebut.

Implikasi dari asumsi diatas adalah sbb:

1. Vertical boundary

Kondisi batas:

\frac{\partial h(i,j)}{\partial x}=\frac{h(i+\Delta x,j)-h(i-\Delta x,j)}{\partial x}\approx 0

h(i+\Delta x,j)=h(i-\Delta x,j)

Sehingga persamaan aproksimasi beda hingganya untuk kondisi batas vertikal di kiri menjadi:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{2h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

Dan sebaliknya untuk kondisi batas vertikal di kanan menjadi:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{2h(i-\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

2. Horizontal boundary

Kondisi batas:

\frac{\partial h(i,j)}{\partial y}=\frac{h(i,j+\Delta y)-h(i,j-\Delta y)}{\partial y}\approx 0

h(i,j+\Delta y)=h(i,j-\Delta y)

Sehingga persamaan aproksimasi beda hingganya untuk kondisi batas horizontal di bawah menjadi:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+2h(i,j+\Delta y)}{4}

Dan sebaliknya untuk kondisi batas horizontal di atas menjadi:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+2h(i,j-\Delta y)}{4}

3. Kombinasi horizontal & vertical boundary

Pada kasus titik-titik di sudut, kita harus kombinasikan aproksimasi diatas, sehingga contohnya untuk titik di sudut kiri bawah, kita akan miliki formulasi beda hingga berikut:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{2h(i+\Delta x,j)+2h(i,j+\Delta y)}{4}

h(i,j)=\frac{h(i+\Delta x,j)+h(i,j+\Delta y)}{2}

Sedangkan untuk sudut lainnya masing-masing di kanan bawah, kanan atas, dan kiri atas adalah sbb:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i,j+\Delta y)}{2}

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)}{2}

h(i,j)=\frac{h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)}{2}

Penutup

Di posting kali ini saya telah tuliskan dan jabarkan seluruh formula untuk mengkalkulasi besarnya tinggi hidrolik menggunakan pendekatan beda hingga. Pada posting mendatang saya akan aplikasikan formula-formula yang telah ditulis disini untuk membuat kurva jaring aliran menggunakan Excel :mrgreen:

Iklan

Trackbacks

  1. […] sedikit, pada tulisan yang lalu saya telah membahas mengenai formulasi beda hingga untuk mendapatkan nilai aproksimasi dari persamaan kontinuitas dari tinggi potensial hidrolik, yang […]

  2. […] titik pada nodal interior dari metode beda hingga yang telah saya jabarkan di posting sebelumnya akan dievaluasi besar gradien […]

  3. […] ditemui tanah dengan satu tipe lapisan tanah saja. Padahal dalam beberapa posting dibelakang, formulasi tinggi hidrolik yang digunakan untuk membuat jejaring ekipotensial mengasumsikan tanah […]

  4. […] Berdasarkan formulasi tersebut saya akan mendemonstrasikan penyelesaian problem geoteknik menggunakan metode beda hingga yang telah saya singgung sebelumnya. […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: