Jaring Aliran (Flownet) – Solusi Dengan Excel (1)

Bagaimana cara mengecek agar hasil penggambaran grafis yang kita buat telah mendekati solusi persamaan kontinuitas? Di tulisan ini saya akan mendemonstrasikan bagaimana menggunakan Excel untuk membuat garis-garis ekuipotensial berdasarkan persamaan kontinuitas!!

Me-review sedikit, pada tulisan yang lalu saya telah membahas mengenai formulasi beda hingga untuk mendapatkan nilai aproksimasi dari persamaan kontinuitas dari tinggi potensial hidrolik, yang mana persamaan tersebut didasarkan pada Hukum Darcy. Di tulisan kali ini, saya akan mencoba menyelesaikan variasi problem rembesan/aliran air pada struktur geoteknik menggunakan pendekatan beda hingga.

Rangkuman rumus beda hingga

Disini saya berikan rangkuman rumus dari formulasi beda hingga yang telah saya jabarkan di posting yang lalu

Nodal interior:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

Nodal boundary tak terdefinisi (asumsi no-flow):

(1a). Vertikal kiri: h(i,j)=\frac{2h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

(1b). Vertikal kanan: h(i,j)=\frac{2h(i-\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

(2a). Horizontal bawah: h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+2h(i,j+\Delta y)}{4}

(2b). Horizontal atas: h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+2h(i,j-\Delta y)}{4}

(3a). Sudut kiri bawah: h(i,j)=\frac{h(i+\Delta x,j)+h(i,j+\Delta y)}{2}

(3b). Sudut kanan bawah: h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i,j+\Delta y)}{2}

(3c). Sudut kanan atas: h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)}{2}

(3d). Sudut kiri atas: h(i,j)=\frac{h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)}{2}

Tinggi hidrolik total (hydraulic head/piezometric head)

Agar bisa menghitung kondisi batas pada problem rembesan (seepage), maka kita harus bisa menghitung besarnya tinggi hidrolik h pada kondisi-kondisi batas. Tinggi hidrolik ini harus bersifat global, artinya nilainya tidak boleh tergantung dari titik dilakukan pengukuran, oleh karena itu kita harus menggunakan tinggi hidrolik total.

Bila kita ingat persamaan Bernoulli:

\frac{1}{2} \rho V^2+p+\rho \overrightarrow{g}.\overrightarrow{u}=\text{cst}

\frac{1}{2g} V^2+\frac{p}{\rho g}+\overrightarrow{u}=\text{cst}

Penjumlahan ketiga terms ini didefinisikan sebagai tinggi hidrolik total. Terms pertama menyatakan velocity head. Ingat bahwa Hukum Darcy berlaku pada aliran Stokes (laminer), sehingga terms ini dapat diabaikan. Sedangkan penjumlahan terms kedua (pressure head) dan ketiga (elevation head) menghasilkan apa yang dikenal sebagai hydraulic head atau piezometric head.

h_t=\frac{p}{\rho g}+\overrightarrow{u}

Tinggi hidrolik total atau tinggi tekanan piezometrik sesungguhnya merepresentasikan kontribusi tekanan statik yang diukur pada titik lokal tertentu. Misalkan kita memasang piezometrik pada beberapa 2 posisi tertentu didalam tanah seperti pada gambar dibawah ini:

piezometric-example

Tinggi tekanan piezometric

Pada piezometrik pertama (dikiri) pada gambar diatas, diukur tinggi tekanan statik sebesar 8 m, sedangkan pada piezometrik satunya, diukur tinggi tekanan statik sebesar 7 m. Ini adalah tinggi tekanan yang dinamai pressure head.

Sedangkan elevasi dimana dilakukan pengukuran pada kedua piezometrik diatas masing-masing adalah -13 m dan -10 m. Cat: Letak datum bisa dimana saja, asalkan konsisten!!

Sehingga nilaiΒ hydraulic head untuk masing-masing piezometrik diatas adalah

h_{t1}=8+(-13)=5

h_{t2}=7+(-10)=3

Contoh kasus 1: Sheetpile dan ekskavasi

Sebuah pekerjaan konstruksi akan dilakukan ditengah badan aliran, oleh karena itu disepanjang bagian tengah bagian konstruksi tersebut akan ditanam sheetpile. Agar pekerjaan dapat dilakukan, tinggi permukaan air dijaga selalu nol. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

flownet-ex1-sheetpile

Contoh 1: Sheetpile dan ekskavasi

Datum saya ambil di elevasi terendah dari permukaan tanah. Ingat bahwa pemilihan datum tidak akan mempengaruhi hasil akhir!! Jadi silahkan saja pilih datum di elevasi lain. :mrgreen:

Tinggi hidrolik total di bagian kiri pada permukaan pasir:

h_{t1}=2+5=7

Pada bagian tengah:

h_{t2}=0+0=0

Sedangkan pada bagian kanan:

h_{t3}=4+3=7

Menggunakan Excel, dimana setiap sel merepresentasikan panjang atau lebar 0.5 m, saya akan mencoba menyelesaikan problem diatas dengan pendekatan beda hingga.

Untuk mencari solusi beda hingga saya akan memanfaatkan kemampuan Excel untuk menyelesaikan circular reference, sehingga pertama-tama masuk ke File>Options lalu pilih tab Formula, beri tanda centang pada pilihan Iteration untuk mengaktivasi, terakhir jangan lupa masukkan angka yang cukup besar pada Maximum Iterations, misalnya 10000.

Pertama-tama, definisikan seluruh kondisi batas yang ada seperti pada gambar dibawah ini. Warna orange tua di bagian pinggir hanya digunakan untuk membantu saya menghitung koordinat. Warna putih dan warna biru, yang masing-masing merepresentasikan daerah kosong dan air, merupakan bagian diluar sistem problem boundary yang sesungguhnya tidak diperlukan untuk didefinisikan, namun disini saya masukkan nilainya agar hasil tampilan di Excel bisa lebih baik.

Bagian berwarna hijau diambil berdasarkan perhitungan hydraulic head diatas.

Bagian berwarna ungu diisikan formula beda hingga sesuai formula beda hingga untuk nodal boundary.

bedahingga-excelpic1

Kemudian isikan bagian interior (berwarna orange muda) dengan formula beda hingga untuk nodal interior. Excel akan melakukan iterasi, dan kecepatan mencapai konvergensi solusi akan tergantung dari kecepatan performa komputer. Hasilnya adalah sbb:

bedahingga-excelpic2

Bila kita plot hasil kalkulasi diatas dengan Excel dengan menggunakan chart tipe surface, maka kita akan peroleh gambar seperti dibawah ini yang mana garis kontur yang membatasi gradasi warna merupakan garis-garis ekuipotensial!!

flownet-ex1-ekuipotensial

Pada gambar diatas saya telah menambahkan garis yang menggambarkan permukaan tanah dan permukaan air, serta garis tebal yang menggambarkan sheetpile. Legenda dibagian bawah gambar menginformasikan tinggi hydraulic head. Garis-garis kontur ekuipotensial sengaja saya buat dengan gradien hidrolik \Delta h=0.5

Sekarang bagaimana dengan garis alirannya?? 😦 Bila kita ingat formula garis aliran yang tergantung dari besar gradien hidrolik, maka kita tahu bahwa garis aliran harus tegak lurus garis ekuipotensial.

Namun penggambaran garis aliran tidak dapat dengan mudah dibuat dengan Excel (bisa tapi tidak mudah/cepat), karena garis aliran adalah vektor sedangkan tinggi hidrolik adalah skalar. Oleh karena itu saya akan sambung cara pembuatannya di next postΒ  :mrgreen:

Plus saya akan berikan beberapa contoh lainnya juga. To be continued… 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] jejaring aliran di Excel tidak semudah membuat jejaring ekuipotensial. Jejaring ekuipotensial dapat diplot dengan mudah menggunakan tipe plot surface di Excel, sedangkan […]

  2. […] Pada tank diatas, saya akan menghitung beda tinggi hidroliknya. Cat: ingat bahwa tinggi hidrolik total pada problem rembesan adalah penjumlahan dari pressure head dan elevation head, silahkan baca apa yang saya maksud soal tinggi hidrolik total diposting soal jaring aliran. […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: