Aliran Air Di Kerangka Solid – Pada Tanah Anisotrop

Pada kondisi real di lapangan jarang sekali ditemui tanah dengan satu tipe lapisan tanah saja. Padahal dalam beberapa posting dibelakang, formulasi tinggi hidrolik yang digunakan untuk membuat jejaring ekipotensial mengasumsikan tanah isotrop.

Apa perbedaan material isotrop dan anisotrop? Material isotrop adalah material yang memiliki karakteristik mekanik yang identik pada semua orientasi lokalnya, sedangkan semua material yang tidak memenuhi kriteria ini dikategorikan anisotrop. 🙂

Kondisi batas di tanah anisotrop (kasus A)

Untuk memahami bagaimana memformulasi problem tanah anisotrop, kita harus mengenal kondisi-kondisi batas di tanah anisotrop. Pertama-tama cermati kasus aliran pada tanah anisotrop di bawah ini.

tanah-anisotrop-kasusAPada kasus A diatas, kita amati suatu aliran air yang melewati suatu tanah anisotrop, dengan arah paralel terhadap lapisan antar tanah. Pertama-tama tentunya kita tahu bahwa aliran air dapat terjadi karena adanya gradien hidrolik yang dimanifestasi dalam Hukum Darcy

\overrightarrow{V}=Ki=K\frac{\Delta h}{L}

Untuk dapat membayangkan lebih jelas seberapa besar gradien hidrolik ini, saya coba gambarkan sampel tanah diatas dalam tangki berikut. Pada tangki dibawah ini, tinggi muka air dijaga konstan.

tanah-anisotrop-kasusA-tank

Pada tank diatas, saya akan menghitung beda tinggi hidroliknya. Cat: ingat bahwa tinggi hidrolik total h_t pada problem rembesan adalah penjumlahan dari pressure head dan elevation head, silahkan baca apa yang saya maksud soal tinggi hidrolik total diposting soal jaring aliran.

h_t=\frac{p}{\rho g}+\overrightarrow{u}

Beda tinggi hidrolik global (atau beda tinggi hidrolik ekuivalen) untuk aliran horizontal ini dapat dihitung dengan mudah dengan mengecek beda tinggi hidrolik total antara titik tertinggi di bagian kiri dan bagian kanan tangki. Dimana:

\Delta h_{he}=h_{\text{kiri}}-h_{\text{kanan}}

\Delta h_{he}=(0+H_A)-(0+0)

\Delta h_{he}=H_A

Sehingga diperoleh beda tinggi hidroliknya (hydraulic head) yang bekerja secara global pada tanah adalah H_A

Sekarang kita coba cek besarnya beda tinggi hidrolik pada masing-masing lapisan tanah pada arah aliran (horizontal)!! Saya akan hitung pada bagian tengah dari masing-masing lapisan tanah.

(1). Di tengah lapisan pasir

\Delta h_{\text{pasir}}=h_{\text{masuk}}-h_{\text{keluar}}

\Delta h_1=((H_A+H_B)+(-H_B-\frac{H_1}{2}))-(H_B+(-H_B-\frac{H_1}{2}))

\Delta h_1=H_A

(2). Di tengah lapisan lanau

\Delta h_{\text{lanau}}=h_{\text{masuk}}-h_{\text{keluar}}

\Delta h_2=((H_A+H_B)+(-H_B-H_1-\frac{H_2}{2}))-(H_B+(-H_B-H_1-\frac{H_2}{2}))

\Delta h_2=H_A

(3). Di tengah lapisan lempung

\Delta h_{\text{lanau}}=h_{\text{masuk}}-h_{\text{keluar}}

\Delta h_3=((H_A+H_B)+(-H_B-H_1-H_2-\frac{H_3}{2}))-(H_B+(-H_B-H_1-H_2-\frac{H_3}{2}))

\Delta h_3=H_A

Ternyata tidak peduli di lapisan manapun, untuk kasus A ini kita miliki beda tinggi hidrolik yang sama pada semua lapisan tanah.

\Delta h_{he}=\Delta h_1=\Delta h_2=\Delta h_3

Ini adalah kondisi batas pada kasus rembesan di kasus A.

Namun perlu diingat, meskipun debit aliran masuk dan keluar akan sama, kecepatan aliran di masing-masing lapisan akan berbeda karena adanya perbedaan konduktivitas hidrolik.

Konduktivitas hidrolik pada kasus A

Setelah memahami kondisi batas di kasus A, sekarang saya akan menghitung konduktivitas hidrolik K_{he} untuk tanah anisotrop untuk aliran air yang paralel arah lapisan.

Pertama-tama kita tahu bahwa besarnya debit yang masuk sama dengan besarnya debit yang keluar. Sehingga besarnya debit di potongan manapun pasti sama.

Kemudian kita tahu besarnya debit air ekuivalen \overrightarrow{Q}_{he} dapat dideskripsikan dengan formula berikut yang pada dasarnya menggunakan Hukum Darcy.

\overrightarrow{Q}_{he}=\overrightarrow{V} (H_1+H_2+H_3)

\overrightarrow{Q}_{he}=K_{he} i_{he} (H_1+H_2+H_3)

Dimana variabel K_{he} menyatakan besarnya koefisien konduktivitas hidrolik ekuivalen, sedangkan i_{he} adalah gradien hidrolik ekuivalennya untuk tanah anisotrop pada kasus A diatas.

Sedangkan debit air di lapisan tergantung dari kontribusi debit pada masing-masing lapisan, sehingga:

\overrightarrow{Q}_{\text{potongan}}=\overrightarrow{Q}_{\text{pasir}}+\overrightarrow{Q}_{\text{lanau}}+\overrightarrow{Q}_{\text{lempung}}

\overrightarrow{Q}_{\text{potongan}}=K_1 i_1 H_1 +K_2 i_2 H_2 +K_3 i_3 H_3

Maka bila saya gabungkan kedua persamaan debit diatas:

\overrightarrow{Q}_{he}=\overrightarrow{Q}_{\text{potongan}}

K_{he} i_{he} (H_1+H_2+H_3)=K_1 i_1 H_1 +K_2 i_2 H_2 +K_3 i_3 H_3

K_{he} \frac{\Delta h_{he}}{L} (H_1+H_2+H_3)=K_{1} \frac{\Delta h_{1}}{L}H_1+K_{2} \frac{\Delta h_{2}}{L}H_2+K_{3} \frac{\Delta h_{3}}{L}H_3

K_{he} \Delta h_{he}(H_1+H_2+H_3)=K_{1} \Delta h_{1}H_1+K_{2} \Delta h_{2}H_2+K_{3} \Delta h_{3}H_3

Disinilah kita harus mengaplikasikan kondisi batas yang telah diketahui sebelumnya, sehingga persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:

K_{he}(H_1+H_2+H_3)=K_{1} H_1+K_{2} H_2+K_{3} H_3

K_{he}=\frac{K_{1} H_1+K_{2} H_2+K_{3} H_3}{(H_1+H_2+H_3)}

Atau dalam bentuk yang lebih umum, formula konduktivitas hidrolik ekuivalennya untuk kasus A menjadi

K_{he}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n K_i H_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n H_j}

Kondisi batas di tanah anisotrop (kasus B)

Sekarang kita lihat kondisi batas apa yang kita miliki bila ada aliran air yang mengalir pada arah tegak lurus lapisan tanah.

tanah-anisotrop-kasusB

Seperti sebelumnya, agar kita dapat membayangkan lebih jelas kasus diatas, saya akan gambarkan sampel tanah diatas dalam tangki dibawah ini, dengan tinggi muka air dijaga konstan.

tanah-anisotrop-kasusB-tank

Besarnya debit air yang melewati sampel tanah diatas adalah

\overrightarrow{Q}_{ve}=k_{ve}i_{ve}A

\overrightarrow{Q}_{ve}=k_{ve}i_{ve}(L)

Dengan k_{ve} adalah konduktivitas hidrolik ekuivalen pada seluruh sampel tanah.

Bila air bersifat inkompresibel, maka tentu saja debit aliran masuk akan sama dengan yang keluar. Agar kontinuitas terjaga, maka hal ini juga pasti akan berlaku di tiap lapisan, sehingga bila diketahui:

\overrightarrow{Q}_{1}=K_1 \frac{\Delta h_1}{H_1}L=\text{debit pada titik antara pasir-lanau}

\overrightarrow{Q}_{2}=K_2 \frac{\Delta h_2}{H_2}L=\text{debit pada titik antara lanau-lempung}

Maka bila digabungkan dengan persamaan sebelumnya, debit aliran ‘antara’ diatas harus memenuhi persamaan berikut:

\overrightarrow{Q}_{ve}=\overrightarrow{Q}_{1}=\overrightarrow{Q}_{2}

k_{ve}\frac{\Delta h_{ve}}{H_1+H_2+H_3}(L)=K_1 \frac{\Delta h_1}{H_1}L=K_2 \frac{\Delta h_2}{H_2}L

\overrightarrow{V}_{ve}(L)=\overrightarrow{V}_1 L=\overrightarrow{V}_2 L

Pada kasus diatas, dimana luas tampang seluruh lapisan tanah yang dilewati aliran air vertikalnya seragam sebesar L, maka persamaan debit diatas dapat disederhanakan menjadi:

\overrightarrow{V}_{\text{ve}}=\overrightarrow{V}_{1}=\overrightarrow{V}_{2}

Inilah kondisi batas pada kasus B.

Konduktivitas hidrolik pada kasus B

Pada kasus B, total beda tinggi hidrolik ini harus sama dengan penjumlahan beda tinggi hidrolik pada masing-masing lapisan,dimana:

\Delta h_{ve}=\Delta h_1+\Delta h_2+\Delta h_3

Besarnya nilai masing-masing komponen diformulasikan sbb:

\Delta h_{ve}=\frac{\overrightarrow{V}_{ve}(H_1+H_2+H_3)}{K_{ve}}

\Delta h_1=\frac{\overrightarrow{V}_{1}(H_1)}{K_{1}}

\Delta h_2=\frac{\overrightarrow{V}_{2}(H_2}{K_{2}}

\Delta h_3=\frac{\overrightarrow{V}_{3}(H_3)}{K_{3}}

Sehingga:

\Delta h_{ve}=\Delta h_1+\Delta h_2+\Delta h_3

\frac{\overrightarrow{V}_{ve}(H_1+H_2+H_3)}{K_{ve}}=\frac{\overrightarrow{V}_{1}(H_1)}{K_{1}}+\frac{\overrightarrow{V}_{2}(H_2)}{K_{2}}+\frac{\overrightarrow{V}_{3}(H_3)}{K_{3}}

Menggunakan kondisi batas, maka persamaan diatas menjadi:

\frac{(H_1+H_2+H_3)}{K_{ve}}=\frac{(H_1)}{K_{1}}+\frac{(H_2)}{K_{2}}+\frac{(H_3)}{K_{3}}

K_{ve}=\frac{(H_1+H_2+H_3)}{\frac{H_1}{K_{1}}+\frac{H_2}{K_{2}}+\frac{H_3}{K_{3}}}

Atau dalam bentuk yang lebih umum, formula konduktivitas hidrolik ekuivalennya untuk kasus B menjadi

K_{ve}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n H_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n \frac{H_j}{K_j}}

Kesimpulan

Cara lain untuk melihat kondisi batas diatas adalah sebagai berikut: Pertama diketahui bahwa pada kedua kasus baik A maupun B, tanah tak homogen pada potongan-potongan horizontalnya (paralel lapisan), namun potongan-potongan vertikalnya tetap “homogen”.

Kemudian dari formulasi persamaan kontinuitas telah diketahui bahwa beda tinggi hidrolik akan tegak lurus arah aliran.

Pada kasus A arah aliran adalah horizontal (paralel lapisan), maka nilai yang konstan adalah beda tinggi hidroliknya, karena beda tinggi hidrolik ini paralel terhadap potongan vertikal yang “homogen”!!

Sebaliknya pada kasus B, arah aliran adalah tegak lurus arah lapisan, maka nilai yang konstan adalah nilai kecepatan aliran ini, karena arah alirannya paralel terhadap potongan vertikal yang “homogen”.

😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] formulasi aliran air pada tanah anisotrop, maka kini seharusnya berbagai variasi problem geoteknik dengan variasi jenis lapisan tanah sudah […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: