Aliran Air Di Kerangka Solid – Solusi Dengan Excel (3)

Oktober 20, 2013 oleh Tinggalkan sebuah Komentar

Menggunakan formulasi aliran air pada tanah anisotrop, maka kini seharusnya berbagai variasi problem geoteknik dengan variasi jenis lapisan tanah sudah dapat diselesaikan.

Berdasarkan formulasi tersebut saya akan mendemonstrasikan penyelesaian problem geoteknik menggunakan metode beda hingga yang telah saya singgung sebelumnya.

tanah-anisotrop-review

Konduktivitas hidrolik tanah anisotrop

Pertama-tama saya review kembali, bahwa dari tanah dengan beberapa lapisan seperti gambar diatas, kita dapat menghitung kedua persamaan konduktivitas hidrolik K_{he} dan K_{ve} sbb:

K_{he}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n K_i H_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n H_j}

K_{ve}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n H_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n \frac{H_j}{K_j}}

Formulasi konduktivitas hidrolik pada interface

Pada pendekatan beda hingga, untuk kasus tanah anisotrop, kita harus memformulasikan konduktivitas hidrolik di daerah interface, yaitu daerah-daerah batas antara dua lapisan tanah yang berbeda dengan konduktivitas hidroliknya masing-masing K_1 dan K_2

tanah-anisotrop-interface

Untuk interface horizontal, menggunakan formulasi yang telah diturunkan sebelumnya, kita dapat hitung dengan mudah nilai konduktivitas hidroliknya

K_{he1}=\frac{K_1 H_1+K_2 H_2}{H_1 + H_2}

K_{ve1}=\frac{H_1+H_2}{\frac{H_1}{K_1}+\frac{H_2}{K_2}}

Ambil panjang H_1=H_2=H dimana H adalah setengah dari tinggi kotak pada masing-masing jendela interface pada gambar diatas, sehingga:

K_{he1}=\frac{K_1 H+K_2 H}{2H}=\frac{K_1+K_2}{2}

K_{ve1}=\frac{2H}{\frac{H}{K_1}+\frac{H}{K_2}}=\frac{2}{\frac{1}{K_1}+\frac{1}{K_2}}

Kemudian agar persamaan diatas lebih sederhana, saya gunakan koefisien R yang merupakan rasio antara konduktivitas hidrolik kedua tanah K_1 dan K_2

K_1=R K_2

Sehingga:

K_{he1}=\frac{K_2(1+R)}{2}

K_{ve1}=\frac{2}{\frac{1}{RK_2}+\frac{1}{K_2}}=\frac{2RK_2}{R+1}

Sedangkan untuk interface vertikal, formulasi konduktivitas hidroliknya menjadi:

K_{he2}=K_{ve1}=\frac{2RK_2}{R+1}

K_{ve2}=K_{he1}=\frac{K_2(1+R)}{2}

Formulasi beda hingga untuk interface

Pada kasus 2 dimensi, persamaan kontinuitas dari tinggi potensial pada kasus rembesan diformulasikan dengan persamaan diferensial berikut:

K_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+K_y\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

Pada posting yang lalu untuk tanah isotrop, kita dapat menyederhanakan persamaan diatas dengan mengambil K_x=K_y, namun untuk tanah anisotrop nilai konduktivitas hidroliknya berbeda pada arah x dan y-nya.

Menggunakan pendekatan central difference, maka:

K_x\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}+K_y\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}=0

K_x\frac{h(i-\Delta x,j)-2h(i,j)+h(i+\Delta x,j)}{\partial x^2}+K_y\frac{h(i,j-\Delta y)-2h(i,j)+h(i,j+\Delta y)}{\partial y^2}=0

Bila \partial x=\partial y maka:

h(i,j)=\frac{K_x (h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j))+K_y(h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y))}{2K_x+2K_y}

Persamaan diatas dapat kita sederhanakan dengan mengambil suatu nilai rasio konduktivitas hidrolik ekuivalen R_1 yang menghubungkan konduktivitas hidrolik pada arah horizontal K_x dan vertikal K_y sbb:

K_x=R_1 K_y

Sehingga persamaan beda hingganya menjadi

h(i,j)=\frac{R_1 K_y (h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j))+K_y(h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y))}{2(R_1 K_y)+2K_y}

h(i,j)=\frac{R_1 (h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j))+(h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y))}{2R_1+2}

Bila rasio R_1=1 maka kita akan memperoleh formulasi untuk kasus isotrop, dimana persamaan diatas menjadi:

h(i,j)=\frac{h(i-\Delta x,j)+h(i+\Delta x,j)+h(i,j-\Delta y)+h(i,j+\Delta y)}{4}

Menghitung rasio konduktivitas hidrolik ekuivalen R_1

Seperti dijelaskan sebelumnya, nilai R_1 adalah rasio antara K_{he} dan K_{ve} sbb:

K_x=R_1 K_y

K_{he}=R_1 K_{ve}

Mensubstitusi nilai konduktivitas hidrolik ekuivalen yang telah dihitung sebelumnya, maka nilai R_1 untuk interface horizontal adalah sbb:

R_1^H=\frac{K_{he1}}{K_{ve1}}

R_1^H=(\frac{K_2(1+R)}{2})/(\frac{2RK_2}{R+1})

R_1^H=\frac{K_2(1+R)^2}{4RK_2}

R_1^H=\frac{(1+R)^2}{4R}

Sedangkan nilai rasionya untuk interface vertikal adalah sbb:

R_1^V=\frac{4R}{(1+R)^2}

Contoh kasus 3: Bendungan pasir dengan inti lempung

Untuk mendemonstrasikan bagaimana formulasi diatas digunakan, saya membuat satu contoh dimana suatu bendungan dengan inti lempung dibebani tekanan hidrostatik seperti pada gambar dibawah ini.

bendungan-inti-lempung

Contoh 3: Bendungan dengan inti lempung

Bendungan tersebut dibangun dengan 2 jenis tanah, lempung dan pasir, masing-masing berwarna kuning dan hijau pada gambar diatas. Lempung dan pasir pada bendungan tersebut diasumsikan memiliki perbedaan konduktivitas hidrolik dengan rasio R=10.

K_1=R K_2=10K_2

Sehingga nilai R_1-nya menjadi:

R_1^H=3.025

R_1^V=0.077

Pada bagian hilir dari lapisan lempung, diberikan lapisan filter untuk mencegah erosi pada bendungan.

Menggunakan informasi diatas, kita masukkan kondisi-kondisi batasnya kedalam lembar Excel seperti pada gambar dibawah ini. Formulasi interface vertikal seperti dijabarkan diatas di-inputkan pada daerah batas antara lempung dan pasir (warna biru tua).

flownet-ex3-kalkulasi

Hasilnya adalah kurva ekuipotensial dan aliran dibawah ini

flownet-ex3-ekuipotensial

Contoh 3: Jejaring ekuipotensial

flownet-ex3-velocity

Contoh 3: Jejaring aliran (stream lines)

Gambar jejaring aliran diatas menunjukkan bahwa saat aliran air masuk kedalam inti lempung, kecepatannya akan berkurang secara signifikan (warna hijau muda). 😎

Filed Under: Mekanika Tanah
«
»

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: