Uji Konsolidasi – Koefisien Konsolidasi

Saat proses konsolidasi berlangsung, tinggi tekanan air pori berangsur-angsur turun akibat air keluar secara bertahap dari dalam benda uji.

Koefisien konsolidasi adalah koefisien yang menyatakan kecepatan proses konsolidasi pada suatu sampel tanah. Semakin besar nilai koefisien ini, maka semakin cepat pula proses konsolidasi terjadi.

Seperti saya sempat singgung diawal rangkaian tulisan mengenai konsolidasi, seberapa cepat proses konsolidasi akan terjadi merupakan salah satu concern dalam permasalahan konsolidasi.

Untuk memformulasikan fenomena ini, pada umumnya kita menggunakan persamaan konsolidasi satu dimensi yang pertama kali diperkenalkan oleh Terzaghi. Persamaan ini mengasumsikan beberapa poin esensial sbb:

  • Tanah homogen dan tersaturasi sempurna
  • Air didalam tanah diasumsikan inkompresibel
  • Formulasi aliran air didalam tanah dipenuhi oleh Hukum Darcy
  • Hubungan tegangan-regangannya linear dan dihubungkan oleh modulus oedometrik

Aliran air pada uji konsolidasi

Agar dapat memahami apa yang terjadi pada benda uji saat tegangan aksial diberikan, perhatikan gambar dibawah ini.

Aliran-air-konsolidasi

Evolusi tegangan air pori pada uji konsolidasi

Sesaat setelah beban diberikan (t_0), maka seluruh tegangan luar (\sigma) akan ditanggung oleh air. Bila kita lihat profil tegangannya, keduanya akan sama besarnya.

Setelah beberapa waktu (dengan t_0<t_1<t_2), maka air didalam sampel tanah akan keluar dari bagian permukaan atas dan bawah benda uji, sedemikian sehingga tegangan air porinya akan terdisipasi. Catatan: KarenaΒ air langsung keluar melalui permukaan atas dan bawah dari sampel , maka tegangan air porinya di permukaan ini akan sama dengan nol.

Gambar diatas menujukkan bahwa profil tegangan air porinya akan berangsur mencapai nol.

Siapa yang menahan sisa tegangan luarnya? πŸ™„ Tentu saja partikel tanah dalam bentuk tegangan efektif. Hal ini dipostulasi oleh Terzaghi dalam persamaan berikut:

\sigma'=\sigma-u

Nah, tantangannya disini adalah bagaimana kita dapat memformulasi evolusi disipasi tegangan air pori pada sampel tanah.

Strategi formulasinya adalah dengan mengecek kompatibilitas dua persamaan yang dapat digunakan mengkalkulasi perubahan volume tanah menurut waktu, yaitu:

  • Dari Hukum Darcy
  • Dari hubungan tegangan-regangan tanah

Perubahan volume tanah berdasarkan formulasi debit aliran dari Hukum Darcy

Saat tanah terkonsolidasi, akan terjadi perubahan volume pada sampel tanah. Kita dapat mengkalkulasi besarnya perubahan volume yang terjadi pada sampel tanah dengan menghitung besarnya debit air yang keluar dari sampel sepanjang waktu tertentu. Catatan: asumsi ini valid apabila air bersifat inkompresibel.

Gambar dibawah ini menunjukkan profil tegangan air pori seperti yang telah saya singgung sebelumnya, serta skematisasi debit aliran airnya di lapisan tanah.

debit-aliran-lapisan

Proses disipasi tegangan air pori

Untuk memformulasikan problem ini, pertama-tama kita harus mengkalkulasi besarnya debit air pada setiap potongan di profil lapisan tanah diatas menggunakan Hukum Darcy sbb:

\overrightarrow{Q}=-KiA

Dengan:

\overrightarrow{Q}=\text{debit aliran } m^3/s

K=\text{konduktivitas hidrolik } m/s

A=\text{luas penampang } m^2

i=\frac{\Delta h}{L}=\text{gradien hidrolik }

Disini kita harus mengkalkulasi besarnya gradien hidrolik i. Untuk dapat mengkalkulasi ini, kita harus benar-benar paham mengenai tekanan hidrolik yang dijabarkan dalam Hukum Bernoulli berikut:

\frac{1}{2}\rho \overrightarrow{V}^2+P+\rho \overrightarrow{g}\overrightarrow{z}=\text{cst}

Untuk aliran stasioner, persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

P+\rho \overrightarrow{g}\overrightarrow{z}=\text{cst}

Pertanyaannya, berapa nilai konstanta tersebut? :mrgreen: Nilai konstanta tersebut sama dengan besarnya tegangan total yang bekerja pada suatu titik, atau dalam kasus yang sedang saya bahas, nilainya sama dengan tegangan air pori di sepanjang profil, tergantung titik mana yang diamati. Sehingga persamaan diatas dapat saya tulis menjadi

P+\rho \overrightarrow{g}\overrightarrow{z}=u

Atau bila saya tulis dalam tinggi tekanan, persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

\frac{P}{\rho \overrightarrow{g}}+\overrightarrow{z} = \frac{u}{\rho \overrightarrow{g}}

Komponen pertama dan kedua dari bagian kiri persamaan diatas dikenal dengan nama pressure head dan elevation head, sedangkan bagian kanan persamaan diatas dikenal dengan nama total head. Tinggi tekanan total inilah yang akan kita gunakan dalam perhitungan gradien hidrolik!!

Catatan: Nilai tekanan air pori u diatas, lebih tepat ditulis u(z,t). Ini disebabkan karena nilai tegangan air pori bervariasi di sepanjang profil dan bervariasi pula menurut waktu!!

Sekarang gradien hidroliknya dapat kita hitung dengan mudah sbb:

i=\nabla h

i=\frac{\partial h}{\partial x}e_1+\frac{\partial h}{\partial y}e_2+\frac{\partial h}{\partial z}e_3

Karena uji konsolidasi merupakan problem satu dimensi, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

i=\frac{\partial h}{\partial z}e_3

i=\frac{\partial}{\partial z}(\frac{u}{\rho \overrightarrow{g}})e_3

i=\frac{1}{\rho \overrightarrow{g}} \frac{\partial u}{\partial z}e_3

Maka persamaan debit aliran air satu dimensinya menjadi:

\overrightarrow{Q}=-KiA

\overrightarrow{Q}=-\frac{KA}{\rho \overrightarrow{g}} \frac{\partial u}{\partial z}e_3

Ini adalah debit aliran air pada setiap titik di profil vertikal tanah. Problemnya, debit aliran air ini tidak konstan disepanjang lapisan tanah, nilainya bervariasi tergantung nilai tegangan air pori!! Oleh karena disini kita harus menghitung besarnya perubahan debit aliran disepanjang profil (dalam hal ini divergennya) sbb:

\nabla . \overrightarrow{Q}=-(\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial x}e_1.e_1+\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial y}e_2.e_2+\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial z}e_3.e_3)

\nabla . \overrightarrow{Q}=-(\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial x}dx+\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial y}dy+\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial z}dz)

Atau untuk problem satu dimensi, persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi

d\overrightarrow{Q}=-\frac{\partial\overrightarrow{Q}}{\partial z}dz

d\overrightarrow{Q}=-\frac{\partial}{\partial z}(\frac{KA}{\rho \overrightarrow{g}} \frac{\partial u}{\partial z})dz

d\overrightarrow{Q}=-(\frac{KA}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dz

Karena debit aliran adalah volume air per satuan waktu, untuk menghitung besarnya perubahan volume tanah, kita dapat dengan mudah mengalikan formula diatas dengan inkremen waktu sbb:

dV=d\overrightarrow{Q} dt=-(\frac{KA}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dzdt

dV=d\overrightarrow{Q} dt=-(\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dxdydzdt

Karena luas penampang tiap potongan tanah selalu konstan, maka persamaan diatas dapat disederhanakan dengan mengambil nilai dx dy sebagai satu unit area, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

dV=-(\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dzdt\

Catatan:

  • Perlu diingat bahwa tanda negatif menyatakan debit air yang keluar dari volume tanah!!
  • Nilai dV tidak sama dengan dx dy dz, karena disini dV adalah perubahan volume pada suatu diferensial volume

Perubahan volume tanah berdasarkan hubungan tegangan-regangan yang linear

Perubahan volume tanah juga dapat dihitung dengan mengasumsikan bahwa relasi tegangan-regangan tanah memiliki hubungan linear yang dihubungkan oleh modulus oedometrik (E_0) yang telah saya jabarkan di posting sebelumnya, sbb:

E_0 d\epsilon_z=d\sigma_z'

d\epsilon_z=\frac{d\sigma_z'}{E_0}

Besarnya perubahan volume dapat dihitung dengan mengalikan regangan dengan inkremen perubahan volume

dV = d\epsilon_z(dx dy dz)

dV = \frac{d\sigma_z'}{E_0} (dx dy dz)

Sama seperti sebelumnya kita dapat mengambil nilai dx dy sebagai satu unit area, sehingga:

dV = \frac{d\sigma_z'}{E_0} dz

Karena tegangan efektif tanah juga dalam fungsi waktu, dimana tegangan efektif tanah akan terus bertambah seiring dengan turunnya tegangan air pori, maka fungsi diatas dapat kita jabarkan menjadi:

dV = \frac{1}{E_0}(\frac{\partial \sigma_z'}{\partial t}) dt dz

Kalau bingung dengan penjabaran diatas, baca kembali soal turunan total disini!! :mrgreen:

Seperti saya singgung diatas, besarnya tegangan efektif yang bertambah pada tanah, akan sama besarnya dengan tegangan air pori yang terdisipasi, oleh karena itu persamaan diatas dapat juga ditulis menjadi

dV = -\frac{1}{E_0}(\frac{\partial u}{\partial t}) dt dz

Formulasi koefisien konsolidasi

Diatas telah saya turunkan perubahan volume tanah saat terjadi proses konsolidasi yang masing-masing dihitung dari Hukum Darcy dan dari hubungan linear tegangan-regangan

dV= -(\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dzdt

dV = -\frac{1}{E_0}(\frac{\partial u}{\partial t}) dt dz

Bila kita gabungkan kedua persamaan diatas, maka akan kita peroleh relasi berikut:

-(\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}dzdt=-\frac{1}{E_0}(\frac{\partial u}{\partial t}) dt dz

(\frac{K}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=\frac{1}{E_0}(\frac{\partial u}{\partial t})

\frac{\partial u}{\partial t}=(\frac{K E_0}{\rho \overrightarrow{g}})\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

Persamaan tersebut seringkali disederhanakan menjadi

\frac{\partial u}{\partial t}=C_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

Dengan C_v merupakan koefisien yang dikenal dengan nama koefisien konsolidasi

C_v=\frac{K E_0}{\rho \overrightarrow{g}}

Jangan lupa bahwa \rho pada koefisien konsolidasi diatas adalah massa jenis air, sehingga koefisien konsolidasi diatas sering juga ditulis:

C_v=\frac{K E_0}{\gamma_w}

Penutup

Persamaan diferensial parsial diatas menggambarkan besarnya penurunan tegangan air pori disepanjang profil. Persamaan ini analog dengan persamaan difusi yang seringkali dijumpai pada problem transfer panas.

Hal ini dapat diartikan bahwa formula konsolidasi satu dimensi dari Terzaghi sesungguhnya merupakan problem difusi dari tegangan air pori!! πŸ˜€

Persamaan diatas akan lebih mudah dicerna bila kita cari solusi persamaan diferensial parsialnya dan mengaplikasikan kondisi batas yang diketahui. Detail dari penjabarannya akan saya bahas di posting selanjutnya 😎

Terakhir, sebagai pertanyaan trivia, mencermati persamaan disipasi tegangan air pori diatas, kapankah proses disipasi tegangan air pori ini berakhir? Atau kapankah tegangan air pori pada benda uji akan mencapai nol? :mrgreen:

Update: cek jawabannya di post berikut

Iklan

Comments

  1. karakterisasi tekanan air pori bisa pakai uji konsolidasi tidak?

    • Dear Devy, uji konsolidasi bukan ditujukan untuk mengkalkulasi besarnya tekanan air pori, uji konsolidasi dilakukan untuk mengetahui karakteristik tanah, contohnya: tegangan prakonsolidasi.

Trackbacks

  1. […] dapat dideskripsikan dengan persamaan diferensial parsial yang detailnya telah saya jabarkan di posting yang lalu […]

  2. […] Setelah melihat sekilas mengenai deret Fourier di posting yang lalu, sekarang kita akan lihat apa hubungan deret Fourier diatas dengan persamaan diferensial parsial (PDE – Partial Differential Equation) yang kita miliki pada problem konsolidasi. Pertama tentunya saya tuliskan ulang persamaan tegangan air pori pada uji konsolidasi: […]

  3. […] pertanyaan ini berkaitan dengan pertanyaan trivia yang sempat saya berikan di salah satu posting terdahulu “kapankah proses disipasi tegangan air pori ini […]

  4. […] Di beberapa tulisan sebelumnya saya sudah membahas mengenai salah satu hal penting yang ingin diketahui dari proses konsolidasi, yaitu mengenai kecepatan konsolidasi. […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: