Derajat Konsolidasi (1) – Sekilas Deret Fourier

Mengetahui kecepatan konsolidasi tanah merupakan salah objektif utama dari dilakukannya uji konsolidasi, dimana kita diharapkan dapat memprediksi tingkat penurunan tanah setelah jangka waktu tertentu.

Ini sangat berguna contohnya pada analisis pre-loading tanah, dimana tanah tempat struktur akan dibangun diberi timbunan terlebih dahulu selama jangka waktu tertentu sebelum struktur tersebut dibangun. Untuk lebih jelasnya bisa lihat gambar dibawah ini.

konsep-preloading

Konsep preloading tanah

Timbunan tanah pada gambar diatas bekerja sebagai preloading dari tanah, sedemikian sehingga setelah jangka waktu tertentu, konsolidasi akan telah mencapai taraf tertentu yang diharapkan. Kemudian tanah timbunan akan diangkat dan suatu struktur dibangun diatasnya. Struktur ini diharapkan tidak akan mengalami differential settlement lagi.

Saat tanah diberi timbunan seperti pada gambar diatas, maka tegangan air pori akan naik. Tegangan air pori ini akan terdisipasi saat air keluar dari benda uji secara perlahan-lahan.

Proses evolusi tegangan air pori disepanjang profil pada waktu t tertentu dan elevasi tertentu z dapat dideskripsikan dengan persamaan diferensial parsial yang detailnya telah saya jabarkan di posting yang lalu sbb:

\frac{\partial u}{\partial t}=C_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

Dengan C_v adalah koefisien konsolidasi yang didefinisikan sbb:

C_v=\frac{K E_0}{\rho \overrightarrow{g}}

Sekarang pertanyaannya… Bagaimana mencari solusi persamaan diferensial parsial ini? :mrgreen:

Untuk menjawab pertanyaan ini, saya akan bagi postingan menjadi 2 bagian, bagian pertama ini saya akan membahas mengenai dekomposisi fungsi periodik menggunakan deret Fourier, sedangkan di bagian kedua nanti saya akan mengaplikasikan deret Fourier ini untuk problem konsolidasi yang kita miliki. 😎

Bentuk exponensial dari deret Fourier

Solusi dari persamaan diferensial diatas dapat dicari dengan menggunakan deret Fourier yang pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier.

Jangan panik, ide deret Fourier tidak sesusah namanya πŸ˜€ (asalkan detail matematikanya bisa kita kesampingkan belakangan) :mrgreen:

Ide dari deret Fourier adalah bagaimana caranya mendekomposisi suatu fungsi yang periodik, menjadi fungsi-fungsi penyusunnya yang periodik. Harapannya adalah agar fungsi periodik apapun tersebut dapat didekomposisi menjadi fungsi-fungsi periodik yang lebih sederhana.

Kurang jelas? Perhatikan gambar yang sangat bagus dibawah ini yang saya ambil dari wikipedia. Di gambar dibawah ini, fungsi periodik yang berwarna biru dapat didekomposisi menjadi fungsi-fungsi periodik penyusunnya (warna merah)!!

Fourier_Series

Dekomposisi fungsi periodik dengan deret Fourier

Bila fungsi-fungsi periodik yang berwarna merah diatas kita superposisi, maka alhasil kita akan mendapatkan suatu fungsi yang mendekati fungsi berwarna biru, tergantung seberapa banyak fungsi penyusunnya yang ingin kita ambil!! πŸ˜€

Nah, itulah ide deret Fourier… Tapi bagaimana cara memperoleh fungsi-fungsi yang berwarna merah diatas??? πŸ™„

Semua dimulai dari formula Euler berikut:

e^{ix}=\cos x+i \sin x

Sebuah formula unik yang membuat dahi saya berkerut saat pertama kali melihatnya di buku dinamika struktur karangan Chopra beberapa tahun silam. Bagaimana mungkin fungsi eksponensial sama dengan fungsi trigonometri!!! πŸ™„ Setelah (waktu itu) mencari cukup lama, akhirnya paham juga kalau fungsi ini ternyata dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan deret Taylor.

Jadi apa sih sebenarnya yang dapat dikatakan dengan formula Euler ini? Formula ini mengatakan bahwa ternyata fungsi eksponensial diatas adalah fungsi periodik yang dapat didekomposisi menjadi cosinus dan sinus, keduanya bekerja bersamaan pada bidang real dan satunya lagi imajiner.

Apa sih makna fisik bidang imajiner? Meskipun pertanyaan ini menyimpang dari topik bahasan di posting ini, namun sangat penting untuk dijawab karena tanpa memahami physical sense dari suatu fungsi, sangat sulit memahami fungsi yang bersangkutan. Gambar dibawah ini menunjukkan sebuah gelombang periodik (sumber gambar) yang bekerja di salah satu sumbu dari 3 sumbu prinsipal.

periodic-function

Gelombang periodik

Anggap gelombang mengarah ke kita, maka secara 2 dimensi, kita hanya akan melihat fungsi periodik diatas hanya berputar, sehingga dapat direpresentasikan dengan gambar dibawah!!

euler-formula

Formula Euler

Ada 2 hal yang bisa kita pelajari disini:

  • Nilai dari fungsi periodik diatas pada suatu waktu tertentu tidak lain dan tidak bukan adalah formula Euler
  • Nilai diatas bekerja pada 2 bidang, yang satu dinamai bidang real (\text{Re}) dan bidang lainnya yang orthogonal terhadap bidang real dinamai bidang imajiner/kompleks (\text{Im})!! Inilah makna fisik dari bidang imajiner :mrgreen:

Cat: Untuk lebih mudah memahani secara visual yang dimaksud dengan bidang imajiner dan real dari gelombang periodik, bisa lihat beberapa animasi gelombang periodik di tautan ini!!

Diatas saya sudah ungkapkan bahwa fungsi eksponensial diatas adalah fungsi periodik. Naahhh, ini artinya untuk mendapatkan fungsi periodik gabungan, kita bisa menggabungkan sejumlah fungsi eksponensial atau secara matematik ditulis sbb:

f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\omega nx}

Dengan \omega=\frac{2\pi}{T} merupakan frekuensi fundamental dari setiap fungsi periodik hasil dekomposisi dan n adalah wavenumber yang menyatakan jumlah gelombang pada suatu panjang tertentu. Karena frekuensi fundamental bernilai konstanta, maka gabungan gelombang yang berbeda-beda disini dinyatakan dengan variasi nilai n.

Sedangkan koefisien c_n disini adalah suatu koefisien yang dinamai koefisien Fourier.

Nilai koefisien ini dapat diturunkan dengan relatif mudah. Saya tidak jabarkan disini karena bukan tujuan utama dari posting ini, namun bila tertarik bisa cek penurunan lengkapnya di tautan berikut. Nilai c_n adalah:

c_n=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{-i \omega nx}dx

Bentuk trigonometrik dari deret Fourier

Persamaan diatas adalah bentuk eksponensial dari deret Fourier, namun pada buku-buku pada umumnya, kita menggunakan apa yang disebut dengan bentuk trigonometrik dari deret Fourier. Untuk memperoleh bentuk tersebut, maka kita harus mendekomposisi penjumlahan diatas menjadi bentuk berikut:

f(x)=\sum\limits_{n=-1}^{-\infty} c_n e^{i\omega nx}+\sum\limits_{n=0}^{0} c_n e^{i\omega nx}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n e^{i\omega nx}

Persamaan diatas dapat dijabarkan lagi dengan menginjeksikan formula Euler, sehingga:

f(x)=\sum\limits_{n=-1}^{-\infty} c_n (\cos \omega nx +i \sin \omega nx)+c_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n (\cos \omega nx +i \sin \omega nx)

Kita dapat ubah persamaan diatas dengan mensyaratkan bahwa n adalah bilangan asli, sehingga:

f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{-n} (\cos (-\omega nx) +i \sin (-\omega nx))+c_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n (\cos \omega nx +i \sin \omega nx)

f(x)=c_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} ((c_{-n}+c_n) \cos \omega nx +i(-c_{-n}+c_n) \sin \omega nx)

Bentuk diatas adalah bentuk trigonometrik dari deret Fourier. Pada umumnya persamaan diatas dituliskan menjadi sbb:

f(x)=a_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \omega nx +b_n \sin \omega nx)

Sehingga koefisien Fourier-nya:

a_o=c_o

a_n=c_{-n}+c_n

b_n=i(-c_{-n}+c_n)

Karena pada kasus yang kita bahas (konsolidasi), kita hanya tertarik pada solusi pada bidang real saja, maka nilai-nilai pada bidang kompleks/imajinernya dapat diabaikan. Sehingga kita dapat peroleh koefisien-koefisien Fourier diatas menjadi sbb:

a_o=c_o=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{-i \omega nx}dx=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) dx

a_n=\text{Re}(c_{-n}+c_n)=\frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos (\omega nx) dx

b_n=\text{Re}(i(-c_{-n}+c_n))=\frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin (\omega nx) dx

Catatan, formula Euler terdiri dari bagian kompleks dan realnya, kitaΒ  dapat jabarkan bagian kompleks dan realnya sbb

e^{ix}=\underbrace{cos x}_{\text{Re}[e^{ix}]}+\underbrace{i \sin x}_{\text{Im}[e^{ix}]}

Resume

Menggunakan deret Fourier, kita bisa mendekomposisi fungsi periodik f(x) menjadi:

f(x)=a_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \omega nx +b_n \sin \omega nx)

Fungsi f(x) diatas adalah fungsi periodik yang ingin kita cari dari suatu problem diferensial parsial!! Caranya sederhana, cukup hitung koefisien-koefisien Fourier-nya a_o, a_n, dan b_n, maka kita bisa memperoleh solusi dari persamaan periodik yang ingin kita cari.

Bagaimana mengaplikasikan persamaan ini khususnya pada problem diferensial parsial yang kita miliki? Saya akan sambung di bagian kedua dari posting ini πŸ˜€

Iklan

Trackbacks

  1. […] melihat sekilas mengenai deret Fourier di posting yang lalu, sekarang kita akan lihat apa hubungan deret Fourier diatas dengan persamaan diferensial parsial […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: