Derajat Konsolidasi (2) – Solusi PDE dari Uji Konsolidasi

Setelah melihat sekilas mengenai deret Fourier di posting yang lalu, sekarang kita akan lihat apa hubungan deret Fourier diatas dengan persamaan diferensial parsial (PDE – Partial Differential Equation) yang kita miliki pada problem konsolidasi. Pertama tentunya saya tuliskan ulang persamaan tegangan air pori pada uji konsolidasi:

$\frac{\partial u}{\partial t}=C_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

Dengan $C_v$ adalah koefisien konsolidasi

$C_v=\frac{K E_0}{\rho \overrightarrow{g}}$

Persamaan diferensial parsial ini akan kita selesaikan menggunakan metode separasi variabel atau kadang disebut juga metode Fourier.

Tarik nafas, karena proses mencari solusi PDE ini lumayan panjang.

Separasi variabel (Metode Fourier)

Dengan metode ini, pertama kita asumsikan bahwa suatu fungsi yang tergantung dari beberapa variabel (dalam kasus ini $u(z,t)$ ) dapat dipecah menjadi beberapa fungsi yang mana tiap fungsi hanya bergantung dari satu variabel saja, sehingga:

$u(z,t)=g(t).h(z)$

Catatan:

Jangan lupa, $u(z,t)$ adalah tegangan air pori di sepanjang profil tanah, dengan $z$ adalah elevasi dan $t$ adalah waktu.
Separasi variabel ini hanya bisa dilakukan untuk fungsi yang memang bisa diseparasi/dipisahkan seperti kasus yang kita hadapi. Fungsi-fungsi seperti: $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{xy-1}$ tidak bisa diseparasi karena bagian penyebut dari fungsi tersebut memiliki variabel yang coupled.

Sekarang kita cari turunan pertama dari $u(z,t)$ terhadap $t$ dan turunan kedua fungsi tersebut terhadap $z$ , dimana:

$\frac{\partial u(z,t)}{\partial t}=g(t)'.h(z)$

$\frac{\partial^2 u(z,t)}{\partial z^2}=g(t).h(z)''$

Kita substitusi informasi diatas ke persamaan yang kita miliki:

$\frac{\partial u}{\partial t}=C_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

$g(t)'.h(z)=C_v g(t).h(z)''$

Kemudian lakukan separasi variabel

$\frac{g(t)'}{C_v g(t)}=\frac{h(z)''}{h(z)}$

Sekarang asumsikan bahwa kedua persamaan diatas nilainya sama dengan sebuah variabel, misalnya saya namakan $-\lambda^2$ , sehingga:

$\frac{g(t)'}{C_v g(t)}=\frac{h(z)''}{h(z)}=-\lambda^2$

Oleh karena itu sekarang kita miliki 2 persamaan sbb:

$g(t)'+C_v \lambda^2 g(t)=0$

$h(z)''+\lambda^2 h(z)=0$

Selanjutnya kita harus cari solusi untuk masing-masing persamaan diatas… Di tahap ini, kita harus mengingat kembali cara mencari solusi dari persamaan diferensial biasa yang umumnya diberikan di tahun pertama perkuliahan teknik. 🙄

(1) Solusi persamaan pertama

$g(t)'+C_v \lambda^2 g(t)=0$

Karena persamaan diatas merupakan persamaan yang homogen, maka bila kita ketahui fungsi $g(t)$ memiliki solusi general/umum sbb: $g(t)=e^{rt}$ , dengan turunan pertamanya adalah $g(t)'=re^{rt}$ , maka

$re^{rt}+C_v \lambda^2 e^{rt}=0$

$r+C_v \lambda^2=0$

Persamaan diatas adalah persamaan karakteristik dari persamaan yang kita miliki diawal. Solusi dari persamaan karakteristik ini adalah:

$r=-C_v \lambda^2$

Dengan mensubstitusi ulang persamaan diatas ke solusi umum, maka kita akan peroleh:

$g(t)=e^{rt}$

$g(t)=e^{(-C_v \lambda^2)t}$

(2) Persamaan kedua:

$h(z)''+\lambda^2 h(z)=0$

Dengan cara serupa seperti persamaan pertama, bila kita ketahui solusi general dari $h(z)=e^{rz}$ kita tuliskan persamaan diatas kedalam bentuk karakteristiknya

$r^2 e^{rz}+\lambda^2 e^{rz}=0$

$r^2 +\lambda^2=0$

Sehingga solusi persamaan karakteristik diatas adalah

$r= \sqrt{-\lambda^2}$

$r= \pm \lambda i$

Sama seperti sebelumnya, kita resubstitusi solusi persamaan karakteristik diatas kedalam solusi umum yang kita miliki. Disini kita memiliki dua solusi sbb:

$h(z)_1=e^{\lambda iz}$

$h(z)_2=e^{-\lambda iz}$

Disini muncul bilangan kompleks… Padahal dalam persamaan kedua yang ingin kita selesaikan ini tidak ada bilangan kompleks… 😦

Jangan kuatir, pertama gunakan formula Euler yang sempat saya singgung di posting yang lalu, kita bisa ekspansi persamaan diatas menjadi:

$h(z)_1=e^{\lambda it}=\cos \lambda z+i \sin \lambda z$

$h(z)_2=e^{-\lambda it}=\cos (-\lambda z)+i \sin (-\lambda z)=\cos \lambda z-i \sin \lambda z$

Kemudian hal penting berikutnya yang harus diketahui adalah: karena solusi-solusi diatas bebas secara linear, maka bentuk lain dari solusi persamaan linear dapat dibuat dari solusi-solusi yang sudah diketahui. Ini sangat penting, namun bila masih bingung dengan istilah bebas secara linear bisa baca tautan berikut.

Misalnya kita cari penambahan dan pengurangan dari solusi yang telah diketahui diatas, sehingga:

$y(z)_1=c_1h(z)_1+c_2h(z)_2=2(c_1+c_2) \cos \lambda z=c_1 \cos \lambda z$

$y(z)_2=c_1h(z)_1-c_2h(z)_2=2i(c_1+c_2) \sin\lambda z=c_2 \sin \lambda z$

Dan dapat disederhanakan menjadi:

$y(z)_1=c_1 \cos \lambda z$

$y(z)_2=c_2 \sin \lambda z$

Dengan alasan yang sama, yaitu karena solusi-solusi diatas bebas secara linear, kita bisa jumlahkan kedua persamaan diatas untuk memperoleh solusi umum dari persamaan kedua ini

$h(z)=c_1 \cos \lambda z+ c_2 \sin \lambda z$

Sekarang gabungkan solusi persamaan pertama dan kedua, sehingga solusi hasil separasi variabel dari persamaan tegangan air pori pada uji konsolidasi adalah

$u(z,t)=g(t).h(z)$

$u(z,t)=e^{-C_v \lambda^2 t}(c_1 \cos \lambda z+ c_2 \sin \lambda z)$

Sebelum menyelesaikan persamaan diatas, kita bisa ubah persamaan diatas dengan mengambil nilai $\lambda$ sbb:

$\lambda=\omega n=\frac{2\pi n}{T}$

Dengan $T$ adalah periode dan $n$ adalah angka gelombang. Sehingga:

$u(z,t)=\text{exp}(-C_v \frac{4 \pi^2 n^2}{T^2} t)(c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T})$

Kondisi batas dan kondisi inisial uji konsolidasi

Untuk mengetahui kondisi batas dan inisial dari uji konsolidasi, sekarang saya akan menampilkan kembali gambar yang telah saya tampilkan di posting yang lalu.

Evolusi tegangan air pori pada uji konsolidasi

Dari gambar diatas, kita dapat lihat dengan jelas bahwa segera setelah dibebani, benda uji mengalami tegangan uniform $\sigma$ , pada kondisi inisial, seluruh tegangan luar ini ditahan oleh tegangan air pori, sehingga:

$u(z,t=0)=\sigma$

Kemudian, karena air dapat keluar melalui permukaan atas dan bawah dari benda uji, maka pada lokasi tersebut, tegangan air porinya bernilai nol!! Sehingga bila misalkan panjang benda uji adalah $2h$ , maka kondisi batasnya adalah:

$u(z=0,t)=0$

$u(z=2h,t)=0$

Catatan: pada posisi $z=0$ dan $z=2h$ , dari kondisi batas dan kondisi inisial diatas kita bisa simpulkan bahwa nilai tegangan air pori di titik tersebut pada saat $t=0$ nilainya bisa nol (kondisi inisial) atau bisa juga sama dengan tegangan luar yang diberikan $\sigma$ . Jangan bingung, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini!!

Kondisi batas dan inisial dari tegangan air pori pada uji konsolidasi untuk t=0

Aplikasi kondisi batas

Sekarang aplikasikan kondisi batas ini untuk menyederhanakan persamaan tegangan air pori yang kita peroleh sebelumnya. Pertama-tama untuk $u(z=0,t=0)$

$u(z=0,t=0)=\text{exp}(-C_v \frac{4 \pi^2 n^2}{T^2} t)(c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T})$

$u(z=0,t=0)=c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T}$

$u(z=0,t=0)=c_1 (1)+ 0$

$c_1=0$

Kemudian untuk $u(z=2h,t=0)$ kita peroleh

$u(z=2h,t=0)=\text{exp}(-C_v \frac{4 \pi^2 n^2}{T^2} t)(c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T})$

$u(z=2h,t=0)=c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T}$

$u(z=2h,t=0)=0+ c_2 \sin \frac{2\pi n(2h)}{T}$

$c_2 \sin \frac{2\pi n(2h)}{T}=0$

Nilai $c_2$ pasti tidak sama dengan nol, karena kalau sama dengan nol, persamaan $u(z,t)$ pasti akan selalu bernilai nol. Oleh karena itu kita ambil:

$\sin \frac{2\pi n(2h)}{T}=0$

Fungsi sinus diatas akan bernilai nol jika:

$\frac{2\pi n(2h)}{T}=n\pi$

$\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2h}$

Sehingga bila kita sekarang kita substitusikan informasi-informasi diatas (dalam hal ini $c_1=0$ dan $\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2h}$ ) ke solusi persamaan tegangan air pori pada uji konsolidasi:

$u(z,t)=\text{exp}(-C_v \frac{4 \pi^2 n^2}{T^2} t)(c_1 \cos \frac{2\pi nz}{T}+ c_2 \sin \frac{2\pi nz}{T})$

$u(z,t)=\text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2} t)(0 + c_2 \sin \frac{n\pi}{2h}z))$

$u(z,t)=\text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2} t)(c_2 \sin \frac{n\pi}{2h}z)$

Perhatikan bahwa koefisen $c_2$ masih belum kita ketahui nilainya, hanya saja kita tahu nilainya tidak sama dengan nol!!

Ekspansi dengan deret Fourier & aplikasi kondisi inisial

Dapat kita lihat bahwa persamaan diatas merupakan persamaan periodik. Ini alasan utama kenapa saya perlu membahas mengenai deret Fourier di posting yang lalu!!

Dari posting yang lalu, saya telah jabarkan bahwa deret Fourier dalam bentuk trigonometrik dari suatu persamaan periodik adalah:

$u(z)=a_o+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \omega nz +b_n \sin \omega nz)$

Dengan koefisien-koefisien Fourier-nya sbb:

$a_o=\frac{1}{T} \int_0^T f(z) dz$

$a_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(z) \cos (\omega nz) dz$

$b_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(z) \sin (\omega nz) dz$

Persamaan deret Fourier diatas bisa juga kita tuliskan menjadi:

$u(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n' \cos \omega nz) + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n \sin \omega nz)$

Dari penjelasan pada bagian mengenai kondisi batas kita telah melihat bahwa untuk memenuhi kondisi-kondisi batas yang ada, maka nilai koefisien $a_n'$ pasti bernilai nol, maka disini hanya tersisa koefisien $b_n$ saja. Sehingga deret Fouriernya menjadi:

$u(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n \sin \omega nz)$

Bandingkan persamaan diatas dengan persamaan sebelumnya, dimana:

$u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \text{exp}(-C_v \frac{4 \pi^2 n^2}{T^2} t)(c_2 \sin \frac{n\pi}{2h}z)$

Dengan mensubstitusi $t=0$ maka kita peroleh:

$b_n=c_2$

Ini berarti untuk $t=0$ persamaan tegangan air pori diatas menjadi sbb:

$u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n \sin \frac{n\pi}{2h}z)$

Mengingat untuk $t=0$ , kita ketahui kondisi inisial $u(z,t=0)=\sigma$ dan sebelumnya kita juga tahu bahwa $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2h}$ , maka nilai koefisien Fourier $b_n$ dapat dihitung dengan mudah dengan mencari nilai integrasi pada range yang diinginkan:

$b_n=\frac{2}{2h} \int_0^{2h} \sigma \sin (\omega nz) dz$

$b_n=\frac{2 \sigma}{2h} \frac{1}{\omega n} (-\cos (\omega nz)+c) |_{0}^{2h}$

$b_n=\frac{2 \sigma}{2h} \frac{2h}{\pi n} (1-\cos (\pi n))$

$b_n=\frac{2 \sigma}{\pi n} (1-\cos (\pi n))$

Solusi PDE dari distribusi tegangan air pori

Sehingga, solusi lengkapnya dari persamaan distribusi tegangan air porinya adalah

$u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n .\text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2} t). \sin \frac{n\pi}{2h}z)$

$u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2 \sigma}{\pi n} (1-\cos \pi n) .\text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2} t). \sin \frac{n\pi}{2h}z)$

Persamaan ini menyatakan tegangan air pori pada posisi $z$ tertentu dan waktu tertentu $t$ selama uji konsolidasi.

Cat: Proses mendapatkan persamaan diatas pada umumnya hanya dijelaskan tidak lebih dari 1 halaman pada buku-buku mekanika tanah standar

Di posting mendatang saya akan menggunakan persamaan diatas untuk menghitung derajat konsolidasi pada uji konsolidasi 😎

	donal pada Uji Triaksial – Unconsol…
	joetomo pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	geotechnicalfreak pada Uji Brazilian/Uji Belah…
	joetomo pada Pengenalan Singkat Tensor…
	joetomo pada Uji Triaksial – Unconsol…
	Grace pada Uji Triaksial – Unconsol…
	rahmandika tri putra pada Tegangan Pada Sumbu Lokal Deng…
	Lailatul Qomariyah pada Pengenalan Singkat Tensor…
	sule pada Unsaturated Soils – Gamb…
	Kamiliyana Puteri As… pada Tegangan Spherical & Devia…

Derajat Konsolidasi (2) – Solusi PDE dari Uji Konsolidasi

Comments

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Derajat Konsolidasi (4) – Representasi Grafis – Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Jaring Aliran (Flownet) – Formulasi

Operator Laplace dan Operator Rotasi (Curl)

Formulasi Uji Brazilian/Uji Belah (1) – Solusi Michell

Rangkuman Rumus Lingkaran Mohr

Divergensi & Teori Divergensi Ostrogradsky

Recent Comments

Follow Site via Email

Derajat Konsolidasi (2) – Solusi PDE dari Uji Konsolidasi

Bagikan ini:

Sukai ini:

Terkait

Comments

Trackbacks

Tinggalkan Balasan ke Derajat Konsolidasi (4) – Representasi Grafis – Civil engineering as viewed by me Batalkan balasan

Random Specimens

Jaring Aliran (Flownet) – Formulasi

Operator Laplace dan Operator Rotasi (Curl)

Formulasi Uji Brazilian/Uji Belah (1) – Solusi Michell

Rangkuman Rumus Lingkaran Mohr

Divergensi & Teori Divergensi Ostrogradsky

Recent Comments

Follow Site via Email