Derajat Konsolidasi (3) – Formulasi

Setelah bersusah payah mencari solusi PDE dari persamaan tegangan air pori pada uji konsolidasi di posting lalu, akhirnya kita siap untuk menghitung derajat/tingkat/rasio konsolidasi.

Apa yang dimaksud dengan derajat konsolidasi? :mrgreen:

Jawaban pertanyaan ini berkaitan dengan pertanyaan trivia yang sempat saya berikan di salah satu posting terdahulukapankah proses disipasi tegangan air pori ini berakhir?” πŸ™„

Sebenarnya kita sudah bisa menebak jawabannya setelah mendapatkan solusi PDE dari persamaan tegangan air pori pada posting yang lalu. Hanya saja jawabannya terkubur dalam solusi PDE dari persamaan tegangan air pori dibawah ini: :mrgreen:

u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). \sin \frac{n\pi}{2h}z)

b_n=\frac{2 \sigma_c}{\pi n} (1-\cos \pi n)

Untuk mencari jawabannya, kita cari terms yang tergantung waktu pada persamaan diatas. Kita dapat lihat dengan mudah bahwa terms yang tergantung waktu dari persamaan diatas hanyalah terms eksponensial \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t)

Pada saat t=0, nilai terms ini sama dengan satu. Ini menyatakan bahwa pada t=0, tegangan air pori belum terdisipasi sama sekali.

Kemudian karena C_v bernilai positif, maka tegangan air pori ini akan semakin kecil saat t semakin besar. Sedemikian sehingga terms ini akan mendekati nol saat t=\infty.

Artinya… menjawab pertanyaan trivia diatas, proses disipasi tegangan air pori sesungguhnya tidak akan pernah berakhir!! :mrgreen:

Atau dengan kata lain, secara teori, menurut persamaan konsolidasi satu dimensi diatas, konsolidasi baru akan selesai pada t=\infty. πŸ™„ Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

evolusi-tegangan-air-pori-uji-konsolidasi

Evolusi tegangan air pori dan efektif selama uji konsolidasi

Jadi, karena proses konsolidasi tidak pernah berakhir, kita harus menggunakan parameter lain yang membandingkan dua kondisi konsolidasi.

Parameter hasil perbandingan ini bernama derajat/rasio konsolidasi U, dimana parameter ini membandingkan besarnya konsolidasi pada waktu t tertentu dan konsolidasi maksimal pada saat t=\infty.

Konsolidasi satu dimensi menurut Terzaghi dan FrΓΆhlich

Pada posting pertama di rangkaian tulisan mengenai konsolidasi, saya pernah menyinggung bahwa penurunan tanah atau settlement akibat beban statik, dapat terjadi karena beberapa penyebab.

Disini, kita akan khusus membahas mengenai settlement akibat konsolidasi s_c.

Besarnya konsolidasi akibat disipasi tegangan air pori dapat dikalkulasi dengan persamaan berikut:

s_c=\int\limits_{0}^{2h} \frac{\sigma'}{E_0}dz=\int\limits_{0}^{2h} \frac{\sigma_c - u}{E_0}dz

Dengan E_0 adalah modulus oedometrik dari benda uji dan \sigma_c adalah tegangan kompresi yang diberikan pada uji konsolidasi (nilainya konstan). Cat: terms \frac{\sigma'}{E_0} pada persamaan diatas adalah deformasi pada tanah.

Besarnya konsolidasi final/maksimal s adalah konsolidasi pada saat t=\infty, dimana nilai tegangan air porinya nol, sehingga:

s=\int\limits_{0}^{2h} \frac{\sigma_c - u}{E_0}dz=\frac{\sigma_c (2h)}{E_0}

Integrasi dari produk perkalian fungsi periodik di deret Fourier

Sebelum mengkalkulasi derajat konsolidasi, kita akan mundur sedikit kebelakang dan mencermati fungsi ganjil dan fungsi genap pada deret Fourier, pertama-tama silahkan melihat gambar dibawah ini.

fungsi-ganjil-genap

Gambar diatas merupakan salah satu contoh dari fungsi yang dinamakan fungsi ganjil dan fungsi genap. Untuk melihat lebih banyak contoh-contoh lainnya, bisa cek video tutorialnya di khan academy. Dari gambar diatas kita dapat definisikan dengan mudah bahwa:

  • Fungsi genap: f(x)=f(-x)
  • Fungsi ganjil: f(x)=-f(-x)

Cat: Jangan campurkan antara bilangan ganjil dan genap dengan fungsi ganjil dan genap, keduanya berbeda :mrgreen:

Lalu apa yang terjadi bila kita lakukan perkalian antara fungsi-fungsi ganjil dan genap? Secara intuitif, kita dapat simpulkan dengan mudah sbb:

  • Perkalian fungsi genap dan fungsi genap β†’ fungsi genap
  • Perkalian fungsi ganjil dan fungsi ganjil β†’ fungsi genap
  • Perkalian fungsi ganjil dan fungsi genap β†’ fungsi ganjil

Sekarang apa hubungannya fungsi ganjil dan genap dengan deret Fourier? πŸ™„

Mirip seperti tadi, jawabannya terkubur di persamaan koefisien Fourier yang telah saya bahas di posting yang lalu. :mrgreen:

b_n=\frac{2}{T} \int_0^T u(z,t) \sin (\omega nz) dz

b_n=\frac{2}{T} \int_0^T u(z,t) \sin (\frac{\pi n}{2h}z) dz

Koefisien ini merupakan fungsi periodik dengan terms sinus yang merupakan fungsi ganjil. Kemudian karena fungsi Fourier sebenarnya merupakan fungsi yang mendekomposisi fungsi u(z,t), maka kita katakan fungsi ini juga periodik.

Dengan mengamati gambar yang saya berikan diawal tulisan ini, kita bisa amati bahwa sepanjang evolusi disipasi tegangan air pori, fungsi u(z,t) ini selalu merupakan fungsi ganjil.

Seperti dijelaskan diatas, produk dari fungsi ganjil dan fungsi ganjil merupakan fungsi genap. Hasil dari integrasi fungsi genap ini pada range [0,2h] tentunya tergantung dari angka gelombang yang digunakan.

Hal yang menarik disini adalah kondisi saat angka gelombang n bernilai genap pada terms sinus di persamaan b_n. Pada kondisi ini nilai total integrasi dari koefisien b_n akan selalu bernilai nol!!

Bingung? :mrgreen: Untuk lebih jelasnya lihat gambar dibawah ini.

koefisien-fourier-integral-bn

Integrasi dari produk fungsi dengan variasi wavenumber

Tanda positif dan negatif menyatakan produk perkalian dari kedua fungsi, dapat kita lihat dengan jelas bahwa pada n genap, maka nilai koefisien b_n selalu bernilai nol. Oleh karena itu kita cukup mengambil angka-angka ganjil saja dari \sum\limits_{n=1}^{n=\infty}, yaitu

m=2n-1

Dimana m adalah angka ganjil untuk n bilangan asli.

Rasio/derajat konsolidasi

Sekarang dengan membandingkan konsolidasi pada t tertentu dan t=\infty, maka derajat/rasio konsolidasinya dapat dihitung sbb:

U=\frac{s_c}{s}

U=1-\frac{1}{2h \sigma_c}(\int\limits_{0}^{2h} u dz)

Dengan mensubstitusi formula tegangan air pori, persamaan derajat konsolidasi diatas dapat ditulis sbb:

U=1-\frac{1}{2h \sigma_c}\int\limits_{0}^{2h} .\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2 \sigma_c}{\pi n} (1-\cos \pi n). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). \sin \frac{n\pi}{2h}z) dz

U=1-\frac{1}{2h \sigma_c}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{0}^{2h} (\frac{2 \sigma_c}{\pi n} (1-\cos \pi n). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). \sin \frac{n\pi}{2h}z) dz

U=1-\frac{1}{2h}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi n} (1-\cos \pi n). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). (-\frac{2h}{n \pi}\cos \frac{n\pi}{2h}z)|_{0}^{2h})

U=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi^2 n^2} (1-\cos \pi n). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). (1-\cos n\pi))

U=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi^2 n^2} (1-\cos \pi n)^2. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t))

Persamaan diatas masih sedikit berbeda dengan solusi yang pada umumnya diberikan di buku-buku teks, oleh karena itu injeksikan kesimpulan yang kita dapat di bagian sebelumnya, yang menjelaskan bahwa b_n nilainya akan tidak sama dengan nol jika dan hanya jika n adalah angka ganjil. πŸ˜€

U=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi^2 (2n-1)^2} (1-\cos \pi (2n-1))^2. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t))

U=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi^2 (2n-1)^2} (1-2\cos \pi (2n-1)+\cos^2 \pi (2n-1)). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t))

U=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{\pi^2 (2n-1)^2} (1+2+1). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t))

U=1-\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{(2n-1)^2}. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t))

Persamaan diatas merupakan merupakan formula derajat/rasio konsolidasi. Di posting selanjutnya saya akan jelaskan lebih jauh persamaan diatas dan mengintroduksi variabel yang dinamakan faktor waktu. 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] dari persamaan diatas kita juga telah amati bahwa, konsolidasi baru akan selesai pada , oleh karena itu untuk kita gunakan variabel yang […]

  2. […] dengan menggunakan parameter elastik tanah (modulus oedometrik ), seperti sempat saya gunakan pada penurunan formula kecepatan konsolidasi. Namun disini: dengan informasi tegangan inisial yang ada pada suatu lapisan tanah dan tegangan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: