Derajat Konsolidasi (4) – Representasi Grafis

Februari 16, 2014 oleh Tinggalkan sebuah Komentar

Pada beberapa posting yang lalu kita sudah melihat bahwa evolusi disipasi tegangan air pori selama uji konsolidasi dapat diformulasi dengan persamaan berikut:

u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). \sin \frac{n\pi}{2h}z)

Dengan b_n adalah koefisien Fourier yang dalam kasus ini bernilai:

b_n=\frac{2 \sigma_c}{\pi n} (1-\cos \pi n)

Selanjutnya dari persamaan diatas kita juga telah amati bahwa, konsolidasi baru akan selesai pada t=\infty, oleh karena itu untuk kita gunakan variabel yang dinamakan derajat/rasio konsolidasi U yang membandingkan konsolidasi s_c pada t tertentu dan t=\infty. Persamaan derajat konsolidasi ini adalah

U=1-\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{(2n-1)^2}. \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t))

Di posting ini saya akan menggambarkan representasi visual dari formula-formula diatas. 😀

Faktor waktu

Bila kita amati persamaan derajat konsolidasi diatas, persamaan tersebut tergantung dari tiga variabel berikut:

  • Koefisien konsolidasi C_v yang merupakan parameter mekanik dari tanah
  • Parameter geometrik dari sampel tanah h
  • Waktu t

Karena C_v dan h adalah konstanta, maka persamaan diatas hanya bervariasi menurut t saja. Oleh karena itu, untuk mengkalkulasi persamaan U, umumnya kita menggunakan variabel yang dinamakan faktor waktu T_v yang menggabungkan ketiga variabel diatas.

Faktor waktu didefinisikan sbb:

T_v=\frac{C_v}{h^2}t

Sedemikian sehingga persamaan U menjadi

U=f(T_v)=1-\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{(2n-1)^2}. \text{exp}(-T_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4}))

Contoh kasus: Konsolidasi akibat timbunan

Pada suatu tanah akan dibangun sebuah bangunan dari beton. Agar tanah tidak mengalami konsolidasi yang signifikan saat bangunan dibangun, maka tanah tersebut akan dibebani dahulu dengan suatu timbunan yang akan memberikan tegangan rata-rata \sigma_c=30 \text{ kN/m}^2 pada tanah.

contoh-kasus-timbunan

Contoh kasus konsolidasi: Problem timbunan

Seperti kita lihat pada gambar diatas, karena lapisan dibawah lapisan lempung tersebut adalah pasir, maka air dapat terdisipasi melalui bagian permukaan atas dan bawah dari lapisan lempung. Oleh karena itu kita bisa menggunakan formulasi yang telah dibahas sejauh ini.

Asumsikan tanah lempung berpasir tersebut memiliki karakteristik mekanik dan geometrik sbb:

  • Koefisien konsolidasi C_v=10^{-3}\text{ cm}^2\text{/s}
  • Tebal lapisan tanah 2h=4\text{ m}

(1) Representasi grafis dari disipasi tegangan air pori

Dengan menggunakan Excel, saya akan membuat representasi grafis dari evolusi tegangan air pori untuk kasus diatas, tentunya menggunakan persamaan berikut:

u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2 \sigma_c}{\pi n} (1-\cos \pi n). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 n^2}{4 h^2}t). \sin \frac{n\pi}{2h}z)

Seperti dijelaskan sebelumnya persamaan diatas nilainya tidak akan nol hanya untuk n yang ganjil, oleh karena itu:

u(z,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2 \sigma_c}{\pi (2n-1)} (1-\cos \pi (2n-1)). \text{exp}(-C_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4 h^2}t). \sin \frac{(2n-1)\pi}{2h}z)

Pada kalkulasi di Excel, saya ambil nilai n=[1,500] yang tentunya sudah representatif untuk mendapatkan hasil deret Fourier yang konvergen. Hasil plot dari tegangan air pori yang terdisipasi diatas untuk variasi t dapat dilihat pada grafik berikut.

evolusi-tegangan-air-pori

Evolusi tegangan air pori pada lapisan tanah

Dapat kita lihat bahwa dengan menggunakan pembebanan sebesar \sigma_c=30\text{ kN/m}^2, untuk kasus timbunan diatas, maka disipasi tegangan air pori (atau dalam hal ini konsolidasi) baru benar-benar akan berakhir setelah kira-kira 2 tahun!! :mrgreen:

(2) Representasi grafis dari derajat konsolidasi

Nah, sekarang kita juga bisa mengintepretasikan grafik diatas dengan menggunakan derajat/rasio konsolidasi U. Konkritnya, rasio ini sebenarnya membandingkan luasan kurva tegangan efektif pada t tertentu terhadap luasan tegangan efektif pada t=\infty

evolusi-tegangan-air-pori-uji-konsolidasi

Skematis evolusi tegangan air pori

Diatas telah saya tulis bahwa derajat konsolidasi ini dirumuskan:

U=f(T_v)=1-\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{(2n-1)^2}. \text{exp}(-T_v \frac{\pi^2 (2n-1)^2}{4}))

Dengan menggunakan variasi T_v, kita dapat dengan mudah mencari hubungan derajat konsolidasi U dan faktor waktu T_v. Gambar dibawah ini menggambarkan relasi keduanya dengan menggunakan nilai T_v=[0,2] dan n=[1,500].

Faktor-waktu-vs-derajat-konsolidasi-norm

Faktor waktu vs derajat konsolidasi (skala normal)

Faktor-waktu-vs-derajat-konsolidasi-log

Faktor waktu vs derajat konsolidasi (skala log)

Representasi dengan faktor waktu T_v sangat bermanfaat karena kurva diatas berlaku umum, artinya meskipun parameter mekanik dan geometriknya berubah-ubah, kurva diatas tidak berubah!!

Jadi, misalkan kita menginginkan tanah yang telah terkonsolidasi misalkan U=60\%, dari kurva diatas kita bisa langsung mengetahui bahwa ini berkorelasi dengan faktor waktu T_v=0.289. Kemudian dengan persamaan T_v=\frac{C_v}{h^2}t kita bisa mengkalkulasi t yang diperlukan untuk mencapai U=60\%.

Ini juga berarti, menambah nilai tegangan kompresi \sigma_c, tidak akan menaikkan rasio konsolidasi U. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini. Saya tampilkan tegangan air pori didalam tanah setelah 6 bulan dengan variasi tegangan kompresi inisial \sigma_c yang berbeda (30, 60, 90 kPa).

tegangan-pori-variasi-tegangan-kompresi

Kurva tegangan pori pada t=6 bulan dengan variasi tegangan kompresi inisial

Perhatikan bahwa rasio dari luasan kurva tersebut dibandingkan terhadap luasan totalnya (pada t=\infty) selalu sama pada t tertentu. Sekali lagi ini menunjukkan bahwa relasi U dan T_v sudah tidak tergantung pada parameter mekanik dan geometrik dari lapisan tanah.

Aproksimasi relasi derajat konsolidasi U dan faktor waktu T_v

Karena relasi derajat konsolidasi U dan faktor waktu T_v diatas cukup kompleks, maka umumnya kita menggunakan formula aproksimasi dari Casagrande dan Taylor berikut yang digunakan untuk mencari faktor waktu T_v, dimana:

  • Untuk U\le60\%, maka T_v=\frac{\pi}{4}(\frac{U\%}{100})^2
  • Untuk U>60\%, maka T_v=1.781-0.933\text{ log}(100-U\%)

Dan sebaliknya, untuk mencari derajat konsolidasi U dalam fungsi T_v, kita bisa menggunakan formula aproksimasi dari Brinch Hansen berikut

U=\sqrt[6]{\frac{T_v^3}{T_v^3+0.5}}

Cat: Karena hasil plot dari persamaan-persamaan aproksimasi diatas sangat dekat dengan kurva ‘faktor waktu vs derajat konsolidasi‘ yang telah saya berikan diatas, maka saya tidak memplot ulang persamaan-persamaan aproksimasi ini.

Penutup

Nah, sekarang kita sudah selesai membahas secara umum salah satu concern utama dari problem konsolidasi, yaitu kecepatan konsolidasi. Pada posting mendatang saya akan membahas concern lainnya, yaitu mengenai magnitude dari konsolidasi. 😀

Perlu diingat semua formula yang telah dibahas sejauh ini hanya berlaku pada kasus dimana tegangan air pori dapat terdisipasi melalui bagian atas dan bawah dari lapisan tanah.

Filed Under: Mekanika Tanah
«
»

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: