Hukum konstitutif : Introduksi

Selamat tahun baru !! (meski telat hampir sebulan, hehehe)  Saya akan mengawali tulisan pertama di tahun 2015 ini mengenai hukum konstitutif.

Variabel (unknown) dalam sistem

Sebelum menjelaskan apa itu hukum konstitutif, ada baiknya kita mulai dengan memahami variabel-variabel yang digunakan untuk mendeskripsikan sebuah sistem mekanik. Untuk itu saya ambil contoh sebuah balon. Balon ini merupakan sebuah sistem yang menjadi objek pengamatan kita.

Saat balon ini dilemparkan keatas, maka ia akan jatuh dengan suatu trayek tertentu yang bisa kita prediksi. Disini kita bisa amati bahwa balon tersebut mengalami perpindahan. Karena si balon bisa berpindah dalam arah x, y dan z dalam sistem koordinat kartesian, maka deskripsi perpindahan bola memerlukan 3 buah variabel.

kinematik-gerak

Gerak parabola sebuah bola (sumber)

Selain berpindah, si balon tadi juga bisa berubah bentuk. Perubahan bentuk ini terjadi apabila kita memberikan tegangan/regangan pada balon.

sistem-balon

Balon yang diberi tegangan pada sebagian permukaannya (sumber)

Bila tegangan dan regangan dideskripsikan dalam bentuk tensor, maka kita miliki masing-masing 6 variabel tambahan.

Untuk tegangan (stress), kita miliki total 9 variabel, tapi karena tensor tegangan ini simetrik, maka total hanya ada 6 variabel bebas. Kesimetrisan tensor tegangan merupakan konsekuensi dari kesetimbangan momen dari momentum.

\overline{\overline{\sigma}} = \begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\dots&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\dots&\dots&\sigma_{33}\end{bmatrix}

Sedangkan tensor regangan simetris karena:

  1. Tensor regangan yang dimaksud disini/umumnya dipelajari adalah tensor regangan kecil (atau small deformation)
  2. Tensor regangan kecil sejatinya merupakan bagian simetrik dari tensor gradien perpindahan, sedemikian sehingga tentunya dan sewajarnya ia simetrik :mrgreen:. Sebagai catatan, bagian antisimetrik dari tensor gradien perpindahan adalah tensor rotasi kecil.

\overline{\overline{\epsilon}} = \begin{bmatrix}\epsilon_{11}&\epsilon_{12}&\epsilon_{13}\\\dots&\epsilon_{22}&\epsilon_{23}\\\dots&\dots&\epsilon_{33}\end{bmatrix}

Sehingga bisa kita simpulkan bahwa untuk mendeskripsikan sebuah sistem, kita memiliki 15 variabel yang tidak diketahui !!

Parameter Jumlah variabel (unknown)
Perpindahan (displacement) 3
Tegangan (stress) 6
Regangan (strain) 6

Persamaan gerak Newton

Karena ada 15 variabel yang tidak diketahui, maka untuk mendapatkan solusinya kita memerlukan setidaknya 15 persamaan.

Persamaan pertama yang dapat membantu kita mencari ke-15 variabel diatas adalah persamaan gerak Newton 🙂

\Sigma\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}

\int \overrightarrow{T}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv=\frac{d(m\overrightarrow{V})}{dt}

\int \overline{\overline{\sigma}}\overrightarrow{n}dA+\int \rho \overrightarrow{f}dv=\frac{d(\overrightarrow{V})}{dt}\int \rho dv

\int \overrightarrow{div}\overline{\overline{\sigma}}dv+\int \rho \overrightarrow{f}dv=\frac{d(\overrightarrow{V})}{dt}\int \rho dv

\overrightarrow{div}( \overline{\overline{\sigma}})+\rho\overrightarrow{f}=\rho\frac{d(\overrightarrow{V})}{dt}

Bila dijabarkan, persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

\begin{Bmatrix}\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial z}\\\frac{\partial\sigma_{21}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{22}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial z}\\\frac{\partial\sigma_{31}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{32}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{33}}{\partial z}\end{Bmatrix}+\rho\begin{Bmatrix}\overrightarrow{f_1}\\\overrightarrow{f_2}\\\overrightarrow{f_3}\end{Bmatrix}=\rho\frac{d}{dt}\begin{Bmatrix}\overrightarrow{V_1}\\\overrightarrow{V_2}\\\overrightarrow{V_3}\end{Bmatrix}

Sehingga dari persamaan gerak Newton kita miliki 3 buah persamaan.

Persamaan deformasi kecil (infinitesimal strain)

Selain persamaan gerak Newton, kita miliki juga persamaan deformasi kecil yang merupakan bagian simetrik dari tensor gradien perpindahan. Deformasi kecil didefinisikan sbb:

\overline{\overline{\epsilon}}_{ij}=(\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i})

Bila dijabarkan, persamaan ini dapat ditulis menjadi:

\begin{bmatrix}\epsilon_{11}&\epsilon_{12}&\epsilon_{13}\\\dots&\epsilon_{22}&\epsilon_{23}\\\dots&\dots&\epsilon_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&x_{1,3}\\x_{2,1}&x_{2,2}&x_{2,3}\\x_{3,1}&x_{3,2}&x_{3,3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_{1,1}&x_{2,1}&x_{3,1}\\x_{1,2}&x_{2,2}&x_{3,2}\\x_{1,3}&x_{2,3}&x_{3,3}\end{bmatrix}

Sedemikian sehingga kita miliki total 6 persamaan yang berbeda.

Hukum konstitutif

Jumlah persamaan yang dimiliki dari hukum gerak Newton dan persamaan deformasi kecil adalah 9 persamaan. Padahal untuk mendeskripsikan suatu sistem, kita memiliki 15 buah variabel. Ini berarti kita masih memerlukan 6 persamaan tambahan !!

Dan disinilah tugas dari hukum konstitutif, yaitu melengkapi jumlah persamaan menjadi genap total 15 buah persamaan. 🙂

Persamaan Jumlah persamaan
Gerak Newton 3
Deformasi kecil 6
Hukum konstitutif 6

Lebih detailnya, hukum konstitutif bertugas mendeskripsikan relasi antara tegangan dan regangan untuk suatu material tertentu. Di post selanjutnya saya akan membahas hukum konstitutif yang paling sederhana untuk benda padat, yaitu hukum elastik.

Iklan

Trackbacks

  1. […] Fungsi tegangan Airy adalah fungsi apapun yang memenuhi persamaan biharmonik. Persamaan biharmonik ini sendiri adalah kombinasi dari persamaan kesetimbangan Newton, persamaan kompatibilitas (dihasilkan dari hubungan deformasi-perpindahan) dan persamaan konstitutif. […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: