Hukum Konstitutif Elastik – Anisotropic

Diantara berbagai hukum konstitutif yang ada, hukum konstitutif elastik merupakan hukum konstitutif yang paling sederhana. Hukum ini seringkali juga dikenal sebagai hukum Hooke yang digeneralisasi (Generalized Hooke’s Law), diambil dari nama ahli fisika Inggris, Robert Hooke, yang memperkenalkan relasi ini pada abad ke 17.

220px-13_Portrait_of_Robert_Hooke

Robert Hooke (source: wiki)

Untuk kasus satu dimensi, hukum Hooke yang telah kita pelajari sejak bangku sekolah menengah menyatakan bahwa gaya F memiliki hubungan linear dengan perpindahan u, sbb:

F=ku

Dengan k adalah kekakuan material yang besarnya berbeda-beda tergantung material. Untuk benda padat, persamaan ini cukup valid saat besarnya perpindahan kecil (small displacement).

Nah di ilmu kontinum modern, persamaan ini seringkali digeneralisasi menjadi hubungan tegangan \sigma dan regangan \epsilon.

Karena tegangan dan regangan adalah tensor orde 2, maka hubungan keduanya dapat ditulis sebagai berikut:

\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon_{kl}

Dengan C_{ijkl} adalah tensor orde 4 yang menyatakan kekakuan material. Untuk problem 3 dimensi, masing2 indeks i, j, k dan l bernilai dari 1 sampai 3.

Sebagai contoh:

\sigma_{12}= C_{1211} \epsilon_{11} + C_{1222} \epsilon_{22} + C_{1233} \epsilon_{33} + C_{1212} \epsilon_{12} + C_{1221} \epsilon_{21} + C_{1213} \epsilon_{13} + C_{1231} \epsilon_{31} + C_{1223} \epsilon_{23} + C_{1232} \epsilon_{32}

Note: Dari persamaan diatas tensor kekakuan terdiri dari 9 konstanta. Karena tensor tegangan terdiri dari 9 komponen juga: \sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{21}, \sigma_{13}, \sigma_{31}, \sigma_{23} dan \sigma_{32}, maka total ada 9x9=81 konstanta dalam tensor orde 4 diatas.

Dari 81 konstanta ini, untuk material elastik-anisotropik kita dapat sederhanakan hingga menjadi 21 konstanta saja, caranya adalah sebagai berikut:

1. Karena kita tahu tensor tegangan adalah tensor simetrik maka:

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \epsilon_{kl} = \sigma_{ji} = C_{jikl} \epsilon_{kl}

Sedemikian sehingga: C_{ijkl} = C_{jikl}

Karena komponen independen dari tensor tegangan kini hanya tersisa 6 komponen: \sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{13} dan \sigma_{23}. Ini berarti kita sudah mengurangi konstanta dari tensor kekakuan dari 81 konstanta menjadi 6x9=54 konstanta saja.

2. Karena kita tahu bahwa tensor deformasi kecil juga adalah tensor simetrik maka:

\sigma_{ij} = C_{ij12} \epsilon_{12} + C_{ij21} \epsilon_{21}

\sigma_{ij} = (C_{ij12} + C_{ij21}) \epsilon_{12}

Ini berarti dua indeks terakhir dari tensor orde 4 tersebut juga bisa ditukar2 (interchangeable).

Sehingga, sebagai contoh, persamaan tegangan \sigma_{12} diatas tadi dapat kita tuliskan menjadi:

\sigma_{12}= C_{1211} \epsilon_{11} + C_{1222} \epsilon_{22} + C_{1233} \epsilon_{33} + 2 (C_{1212} \epsilon_{12} + C_{1213} \epsilon_{13} + C_{1223} \epsilon_{23})

Karena persamaan tegangan diatas hanya memiliki 6 konstanta bebas, maka total konstanta independen yang kita miliki hanya tersisa 6x6=36 konstanta.

3. Hipotesis proses adiabatik.

Pada hukum elastik, kita juga berasumsi bahwa prosesnya adalah adiabatik, artinya tidak ada transfer panas dari dalam atau ke dalam sistem.

Dari hukum pertama thermodinamik, kita sudah tahu bahwa energi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan, hanya dapat berpindah dari bentuk yang satu ke bentuk yang lain.

Ini berarti, pada sistem adiabatik, energi yang diterima dari luar akan direspon oleh internal sistem hanya melalui proses regangan/deformasi (perubahan bentuk) dari sistem.

Besarnya energi regangan/deformasi dari sistem ini merupakan double dot product dari tensor tegangan \sigma_{ij} dan tensor regangan \epsilon_{ij}, sehingga untuk suatu infinitesimal volume dV, kita miliki persamaan berikut:

\int\limits_{V} (dU) (dV) = \int\limits_{V} (\sigma_{ij} : d\epsilon_{ij}) (dV)

Sehingga:

dU = \sigma_{ij} d\epsilon_{ij}

Persamaan diatas dapat kita jabarkan menjadi:

dU = \sigma_{11} d\epsilon_{11} + \sigma_{22} d\epsilon_{22} + \sigma_{33} d\epsilon_{33} + \sigma_{12} d\epsilon_{12} + \sigma_{21} d\epsilon_{21} + \sigma_{13} d\epsilon_{13} + \sigma_{31} d\epsilon_{31} + \sigma_{23} d\epsilon_{23} + \sigma_{32} d\epsilon_{32}

dimana variabel dU adalah suatu fungsi yang menyatakan densitas energi deformasi (strain energy density).

Ini berarti, turunan parsial dari fungsi U terhadap tensor regangan dapat ditulis menjadi:

\sigma_{11}=\frac{\partial U}{\partial \epsilon_{11}}, \sigma_{22}=\frac{\partial U}{\partial \epsilon_{22}}, \sigma_{33}=\frac{\partial U}{\partial \epsilon_{33}}, dst

Atau:

\sigma_{11}= C_{1111} \epsilon_{11} + C_{1122} \epsilon_{22} + C_{1133} \epsilon_{33} + 2 (C_{1112} \epsilon_{12} + C_{1113} \epsilon_{13} + C_{1123} \epsilon_{23}) = \frac{\partial U}{\partial \epsilon_{11}}

\sigma_{22}= C_{2211} \epsilon_{11} + C_{2222} \epsilon_{22} + C_{2233} \epsilon_{33} + 2 (C_{2212} \epsilon_{12} + C_{2213} \epsilon_{13} + C_{2223} \epsilon_{23}) = \frac{\partial U}{\partial \epsilon_{22}}

Bila kita turunkan lagi secara parsial masing2 dari kedua persamaan diatas, kita jumpai bahwa:

\frac{\partial^{2} U}{\partial \epsilon_{11} \partial \epsilon_{22} } = C_{1122}

\frac{\partial^{2} U}{\partial \epsilon_{22} \partial \epsilon_{11} } = C_{2211}

Maka kita temukan bahwa dua indeks diawal dan dua indeks diakhir dari tensor kekakuan juga bisa ditukar2:

C_{1122}=C_{2211}

Atau dapat kita tulis secara umum sbb:

C_{ijkl} = C_{klij}

Kesimpulannya, untuk material elastik anisotropik, tensor kekakuan C_{ijkl} yang di akhir poin ke 2 diatas masih tersisa 36 komponen, disini hanya menjadi tersisa 21 komponen saja dengan mengasumsikan proses adiabatik. Sehingga relasi tegangan dan regangannya dapat ditulis menjadi:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1112}&C_{1113}&C_{1123}\\{...}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2212}&C_{2213}&C_{2223}\\{...}&{...}&C_{3333}&C_{3312}&C_{3313}&C_{3323}\\{...}&{...}&{...}&C_{1212}&C_{1213}&C_{1223}\\{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}&C_{1323}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&C_{2323}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Sekali lagi, ini adalah bentuk umum untuk kasus material elastik-anisotropik 8-).

Apa sih material anisotropik? Secara sederhana, material anisotropic adalah material yang responnya berbeda bila dibebani pada arah berbeda. Contohnya adalah tanah atau untuk material konstruksi contohnya adalah glulam (glued laminated timber).

glulam

Glulam (glued laminated timber), source: timber.net.au

Di posting berikutnya saya akan membahas bagaimana simetrisitas elastik dapat mengurangi jumlah konstanta kekakuan dari 21 konstanta menjadi hanya dua saja !! 😀

 

Iklan

Trackbacks

  1. […] posting yang lalu mengenai hukum konstitutif elastik untuk material anisotropik, saya telah menjabarkan bahwa matriks kekakuan pada hubungan tegangan dan regangannya memiliki 21 […]

  2. […] hanya memiliki 2 variabel bebas saja. Proses penurunannya bisa dilihat di dua posting terdahulu di sini dan […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: