Hukum Konstitutif Elastik – Anisotropic

Diantara berbagai hukum konstitutif yang ada, hukum konstitutif elastik merupakan hukum konstitutif yang paling sederhana. Hukum ini seringkali juga dikenal sebagai hukum Hooke yang digeneralisasi (Generalized Hooke’s Law), diambil dari nama ahli fisika Inggris, Robert Hooke, yang memperkenalkan relasi ini pada abad ke 17.

Robert Hooke (source: wiki)

Untuk kasus satu dimensi, hukum Hooke yang telah kita pelajari sejak bangku sekolah menengah menyatakan bahwa gaya  memiliki hubungan linear dengan perpindahan , sbb:

Dengan adalah kekakuan material yang besarnya berbeda-beda tergantung material. Untuk benda padat, persamaan ini cukup valid saat besarnya perpindahan kecil (small displacement).

Nah di ilmu kontinum modern, persamaan ini seringkali digeneralisasi menjadi hubungan tegangan dan regangan .

Karena tegangan dan regangan adalah tensor orde 2, maka hubungan keduanya dapat ditulis sebagai berikut:

Dengan adalah tensor orde 4 yang menyatakan kekakuan material. Untuk problem 3 dimensi, masing2 indeks , , dan bernilai dari 1 sampai 3.

Sebagai contoh:

Note: Dari persamaan diatas tensor kekakuan terdiri dari 9 konstanta. Karena tensor tegangan terdiri dari 9 komponen juga: , , , , , , , dan , maka total ada konstanta dalam tensor orde 4 diatas.

Dari 81 konstanta ini, untuk material elastik-anisotropik kita dapat sederhanakan hingga menjadi 21 konstanta saja, caranya adalah sebagai berikut:

1. Karena kita tahu tensor tegangan adalah tensor simetrik maka:

Sedemikian sehingga:

Karena komponen independen dari tensor tegangan kini hanya tersisa 6 komponen: , , , , dan . Ini berarti kita sudah mengurangi konstanta dari tensor kekakuan dari 81 konstanta menjadi konstanta saja.

2. Karena kita tahu bahwa tensor deformasi kecil juga adalah tensor simetrik maka:

Ini berarti dua indeks terakhir dari tensor orde 4 tersebut juga bisa ditukar2 (interchangeable).

Sehingga, sebagai contoh, persamaan tegangan  diatas tadi dapat kita tuliskan menjadi:

Karena persamaan tegangan diatas hanya memiliki 6 konstanta bebas, maka total konstanta independen yang kita miliki hanya tersisa konstanta.

3. Hipotesis proses adiabatik.

Pada hukum elastik, kita juga berasumsi bahwa prosesnya adalah adiabatik, artinya tidak ada transfer panas dari dalam atau ke dalam sistem.

Dari hukum pertama thermodinamik, kita sudah tahu bahwa energi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan, hanya dapat berpindah dari bentuk yang satu ke bentuk yang lain.

Ini berarti, pada sistem adiabatik, energi yang diterima dari luar akan direspon oleh internal sistem hanya melalui proses regangan/deformasi (perubahan bentuk) dari sistem.

Besarnya energi regangan/deformasi dari sistem ini merupakan double dot product dari tensor tegangan dan tensor regangan , sehingga untuk suatu infinitesimal volume , kita miliki persamaan berikut:

Sehingga:

Persamaan diatas dapat kita jabarkan menjadi:

dimana variabel adalah suatu fungsi yang menyatakan densitas energi deformasi (strain energy density).

Ini berarti, turunan parsial dari fungsi terhadap tensor regangan dapat ditulis menjadi:

Atau:

Bila kita turunkan lagi secara parsial masing2 dari kedua persamaan diatas, kita jumpai bahwa:

Maka kita temukan bahwa dua indeks diawal dan dua indeks diakhir dari tensor kekakuan juga bisa ditukar2:

Atau dapat kita tulis secara umum sbb:

Kesimpulannya, untuk material elastik anisotropik, tensor kekakuan yang di akhir poin ke 2 diatas masih tersisa 36 komponen, disini hanya menjadi tersisa 21 komponen saja dengan mengasumsikan proses adiabatik. Sehingga relasi tegangan dan regangannya dapat ditulis menjadi:

Sekali lagi, ini adalah bentuk umum untuk kasus material elastik-anisotropik 8-).

Apa sih material anisotropik? Secara sederhana, material anisotropic adalah material yang responnya berbeda bila dibebani pada arah berbeda. Contohnya adalah tanah atau untuk material konstruksi contohnya adalah glulam (glued laminated timber).

Glulam (glued laminated timber), source: timber.net.au

Di posting berikutnya saya akan membahas bagaimana simetrisitas elastik dapat mengurangi jumlah konstanta kekakuan dari 21 konstanta menjadi hanya dua saja !! 😀