Hukum Konstitutif Elastik – Isotropic (Formulasi)

November 10, 2015 oleh 1 Komentar

Di posting yang lalu mengenai hukum konstitutif elastik untuk material anisotropik, saya telah menjabarkan bahwa matriks kekakuan pada hubungan tegangan dan regangannya memiliki 21 konstanta sebagai berikut:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1112}&C_{1113}&C_{1123}\\{...}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2212}&C_{2213}&C_{2223}\\{...}&{...}&C_{3333}&C_{3312}&C_{3313}&C_{3323}\\{...}&{...}&{...}&C_{1212}&C_{1213}&C_{1223}\\{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}&C_{1323}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&C_{2323}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Seperti kita ketahui, untuk material elastik, relasi antara tegangan dan regangannya hanya tergantung dari 2 konstanta saja, yaitu

  • Modulus Young (E) dan rasio Poisson (\nu), atau
  • Bulk modulus (K) dan shear modulus (G), atau
  • Konstanta Lame (\lambda dan \mu).

Bagaimana ceritanya jumlah konstanta dari material elastik-anisotrop dan material elastik-isotrop dapat berbeda sekian banyak?  😀

Pertama-tama, per definisi, kata isotrop berasal dari bahasa Yunani: isos (berarti equal = sama) dan tropos (berarti way = cara). Secara lebih spesifik, untuk ilmu material, material isotrop adalah material yang memiliki properti yang uniform pada semua arah, atau pada buku-buku textbook, lebih dikenal dengan simetri material.

Simetri material adalah kunci untuk menyederhanakan matriks kekakuan diatas, untuk proses detail penurunannya kita harus mempertimbangkan beberapa kasus simetri berikut:

1. Simetri terhadap suatu bidang

Cermin dari suatu material yang isotrop akan memiliki properti yang identik. Material yang hanya memiliki properti yang simetri terhadap salah satu bidang dikenal juga sebagai material monoclinic.

Misalkan kita memiliki suatu material dalam sistem koordinat (X_1,X_2,X_3). Cerminan dari material ini terhadap bidang OX_1,OX_2 akan memiliki properti yang identik. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini dimana properti material merah dan biru haruslah identik untuk material isotrop.

simetri-bidangSimetri terhadap bidang OX_1,OX_2

Untuk mentransformasi vektor basis pada sistem koordinat (X_1,X_2,X_3) menjadi (X_1',X_2',X_3'), kita bisa gunakan relasi berikut:

\begin{Bmatrix} X_{1}'\\X_{2}'\\X_{3}' \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} l_{11}&l_{12}&l_{13}\\l_{21}&l_{22}&l_{23}\\l_{31}&l_{32}&l_{33} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Nilai dari matriks transformasi untuk kasus simetri terhadap bidang OX_1,OX_2 dapat ditentukan dengan mudah sbb:

  • Karena X_{1}' dan X_{1} berhimpit, maka l_{11}=1, l_{12}=0 dan l_{13}=0
  • Karena X_{2}' dan X_{2} berhimpit, maka l_{21}=0, l_{22}=1 dan l_{23}=0
  • Karena X_{3}' dan X_{3} berlawanan arah, maka l_{31}=0, l_{32}=0 dan l_{33}=-1

Sehingga:

\begin{Bmatrix} X_{1}'\\X_{2}'\\X_{3}' \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Untuk mentransformasi matriks kekakuan yang merupakan tensor orde 4, secara matematis kita dapat tuliskan relasi antara kekakuan pada sistem koordinat awal (X_1,X_2,X_3) dan kekakuan pada sistem koordinat final (X_1',X_2',X_3') menggunakan relasi berikut:

C_{pqrs} = l_{pk}l_{ql}l_{rm}l_{sn}C_{klmn}

Matriks l_{pk},l_{ql},l_{rm},l_{sn} adalah matrik-matrik transformasi. Karena sifat simetri material, maka semua komponen matriks kekakuan sebelum dan sesudah transformasi nilainya harus sama. Kalkulasi setiap komponen matriks kekakuan diatas dapat dijabarkan sbb:

C_{1111}' = l_{1k}l_{1l}l_{1m}l_{1n}C_{klmn}=C_{1111}

C_{1122}' = l_{1k}l_{1l}l_{2m}l_{2n}C_{klmn}=C_{1122}

C_{1133}' = l_{1k}l_{1l}l_{3m}l_{3n}C_{klmn}=C_{1133}

C_{1112}' = l_{1k}l_{1l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=C_{1112}

C_{1113}' = l_{1k}l_{1l}l_{1m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{1113}

C_{1123}' = l_{1k}l_{1l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{1123}

C_{2222}' = l_{2k}l_{2l}l_{2m}l_{2n}C_{klmn}=C_{2222}

C_{2233}' = l_{2k}l_{2l}l_{3m}l_{3n}C_{klmn}=C_{2233}

C_{2212}' = l_{2k}l_{2l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=C_{2212}

C_{2213}' = l_{2k}l_{2l}l_{1m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{2213}

C_{2223}' = l_{2k}l_{2l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{2223}

C_{3333}' = l_{3k}l_{3l}l_{3m}l_{3n}C_{klmn}=C_{3333}

C_{3312}' = l_{3k}l_{3l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=C_{3312}

C_{3313}' = l_{3k}l_{3l}l_{1m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{3313}

C_{3323}' = l_{3k}l_{3l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{3323}

C_{1212}' = l_{1k}l_{2l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=C_{1212}

C_{1213}' = l_{1k}l_{2l}l_{1m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{1213}

C_{1223}' = l_{1k}l_{2l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{1223}

C_{1313}' = l_{1k}l_{3l}l_{1m}l_{3n}C_{klmn}=C_{1313}

C_{1323}' = l_{1k}l_{3l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=C_{1323}

C_{2323}' = l_{2k}l_{3l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=C_{2323}

Dari persamaan diatas, sebagian konstanta dari tensor kekakuan nilainya identik sebelum dan sesudah ditransformasi, contohnya C_{1111}' = C_{1111}.

Namun ternyata, ini tidak berlaku untuk semua konstanta, 8 konstanta yang nilainya tidak sama sebelum dan setelah transformasi adalah sbb: C_{1113}, C_{1123}, C_{2213}, C_{2223}, C_{3313}, C_{3323}, C_{1213} dan C_{1223}

Agar kondisi simetri terpenuhi, maka kedelapan konstanta diatas haruslah bernilai nol. Sehingga dari kondisi simetri terhadap bidang OX_1,OX_2 saja, konstanta kekakuannya hanya tersisa 13 buah sbb:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1112}&0&0\\{...}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2212}&0&0\\{...}&{...}&C_{3333}&C_{3312}&0&0\\{...}&{...}&{...}&C_{1212}&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}&C_{1323}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&C_{2323}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

2. Simetri terhadap dua bidang orthogonal

Material yang memiliki properti yang simetri terhadap sekurang-kurangnya dua bidang yang orthogonal satu sama lain dikenal juga sebagai material orthotropic.

simetri-2bidangSimetri terhadap bidang OX_1,OX_2 dan bidang OX_2,OX_3

Ini merupakan ekstensi dari poin pertama diatas. Untuk mentransformasi vektor basis pada sistem koordinat (X_1,X_2,X_3) menjadi (X_1",X_2",X_3"), kita bisa gunakan relasi berikut:

\begin{Bmatrix} X_{1}"\\X_{2}"\\X_{3}" \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} l_{11}&l_{12}&l_{13}\\l_{21}&l_{22}&l_{23}\\l_{31}&l_{32}&l_{33} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Nilai dari matriks transformasi untuk kasus simetri terhadap bidang OX_2,OX_3 dapat ditentukan dengan mudah sbb:

  • Karena X_{1}" dan X_{1} berlawanan arah, maka l_{11}=-1, l_{12}=0 dan l_{13}=0
  • Karena X_{2}" dan X_{2} berhimpit, maka l_{21}=0, l_{22}=1 dan l_{23}=0
  • Karena X_{3}" dan X_{3} berhimpit, maka l_{31}=0, l_{32}=0 dan l_{33}=1

Sehingga:

\begin{Bmatrix} X_{1}"\\X_{2}"\\X_{3}" \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Setelah mengkalkulasi matriks kekakuan untuk kasus simetri terhadap bidang OX_2,OX_3, maka akan kita temukan bahwa:

C_{1112}" = l_{1k}l_{1l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=-C_{1112}

C_{2212}" = l_{2k}l_{2l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=-C_{2212}

C_{3312}" = l_{3k}l_{3l}l_{1m}l_{2n}C_{klmn}=-C_{3312}

C_{1323}" = l_{1k}l_{3l}l_{2m}l_{3n}C_{klmn}=-C_{1323}

Ini berarti 4 konstanta kekakuan diatas juga haruslah bernilai nol agar kondisi simetri orthotropic bisa terpenuhi. Maka jumlah konstanta matriks kekakuan menjadi hanya 9 konstanta saja sbb:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&0&0&0\\{...}&C_{2222}&C_{2233}&0&0&0\\{...}&{...}&C_{3333}&0&0&0\\{...}&{...}&{...}&C_{1212}&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&C_{2323}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

3. Simetri terhadap rotasi pada salah satu sumbu material

Material yang memiliki rotasi simetri pada salah satu sumbu material dikenal juga sebagai material yang transversely isotropic. Ini merupakan ekstensi dari material orthotropic yang dijelaskan pada poin 2 diatas. Jadi, selain memiliki simetri pada dua bidang yang saling orthogonal satu sama lain, material transverly orthotropic juga memiliki simetri terhadap salah satu sumbu material.

simetri-rotation1simetri-rotation

Rotasi material terhadap sumbu X_3 sebesar \phi derajat.

Gambar diatas memberikan ilustrasi dari suatu material yang simetri pada 2 bidang orthogonal, namun hanya memiliki simetri rotasi terhadap sumbu X_3.

Untuk mentransformasi vektor basis pada sistem koordinat (X_1,X_2,X_3) menjadi (X_1*,X_2*,X_3*) sesuai gambar diatas, kita bisa gunakan relasi berikut:

\begin{Bmatrix} X_{1}*\\X_{2}*\\X_{3}* \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} l_{11}&l_{12}&l_{13}\\l_{21}&l_{22}&l_{23}\\l_{31}&l_{32}&l_{33} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Dimana:

  • Karena X_{1}' berotasi \phi terhadap sumbu X_3 (kaidah tangan kanan), maka l_{11}=\cos\phi, l_{12}=\sin\phi dan l_{13}=0
  • Karena X_{2}' berotasi \phi terhadap sumbu X_3 (kaidah tangan kanan), maka l_{21}=-\sin\phi, l_{22}=\cos\phi dan l_{23}=0
  • Karena X_{3}' dan X_{3} berhimpit, maka l_{31}=0, l_{32}=0 dan l_{33}=1

Sehingga:

\begin{Bmatrix} X_{1}*\\X_{2}*\\X_{3}* \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1}\\X_{2}\\X_{3} \end{Bmatrix}

Sama seperti sebelumnya, matriks kekakuan sebelum dan setelah transformasi harus identik. Kita bisa mengkalkulasi matrik-matrik kekakuan untuk kasus ini dengan:

C_{pqrs}" = l_{pk}l_{ql}l_{rm}l_{sn}C_{klmn}

Maka kita bisa kalkulasi kesembilan parameter independen yang kita miliki dari poin yang lalu sbb:

C_{1111}" = \cos^4\phi C_{1111}+\cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1122}+C_{2211})+\sin^4\phi C_{2222}+\cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1212}+C_{1221}+C_{2112}+C_{2121})

C_{2222}" = \sin^4\phi C_{1111}+\sin^2\phi\cos^2\phi (C_{1122}+C_{2211})+\cos^4\phi C_{2222}+\sin^2\phi\cos^2\phi (C_{1212}+C_{1221}+C_{2112}+C_{2121})

C_{1122}" =\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1111}+\cos^4\phi C_{1122}+\sin^4\phi C_{2211}+\sin^2\phi\cos^2\phi C_{2222}-\cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1212}+C_{1221}+C_{2112}+C_{2121})

C_{1212}" =\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1111}-\cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1122}+C_{2211})+\sin^2\phi\cos^2\phi C_{2222}+\cos^4\phi C_{1212}-\sin^2\phi\cos^2\phi C_{1221}-\sin^2\phi\cos^2\phi C_{2112}+\sin^4 C_{2121}

C_{1133}" =\cos^2\phi C_{1133}+\sin^2\phi C_{2233}

C_{2233}" =\sin^2\phi C_{1133}+\cos^2\phi C_{2233}

C_{1313}" =\cos^2\phi C_{1313}+\sin^2\phi C_{2323}

C_{2323}" =\sin^2\phi C_{1313}+\cos^2\phi C_{2233}

C_{3333}"= C_{3333}

Atau dapat disederhanakan sbb:

C_{1111}" = \cos^4\phi C_{1111}+2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1122}+\sin^4\phi C_{2222}+4 \cos^2\phi\sin^2\phi C_{1212}

C_{2222}" = \sin^4\phi C_{1111}+2\sin^2\phi\cos^2\phi C_{1122}+\cos^4\phi C_{2222}+4\sin^2\phi\cos^2\phi C_{1212}

C_{1122}" =\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1111}+(\cos^4\phi+\sin^4\phi) C_{1122}+\sin^2\phi\cos^2\phi C_{2222}-4\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1212}

C_{1212}" =\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1111}-2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1122}+\sin^2\phi\cos^2\phi C_{2222}+(\cos^4\phi-2\sin^2\phi\cos^2\phi+\sin^4\phi) C_{1212}

C_{1133}" =\cos^2\phi C_{1133}+\sin^2\phi C_{2233}

C_{2233}" =\sin^2\phi C_{1133}+\cos^2\phi C_{2233}

C_{1313}" =\cos^2\phi C_{1313}+\sin^2\phi C_{2323}

C_{2323}" =\sin^2\phi C_{1313}+\cos^2\phi C_{2233}

C_{3333}"= C_{3333}

Seperti yang lalu, simetri material dapat terbukti jika persamaan berikut terpenuhi:

C_{pqrs}"=C_{klmn}

Persamaan ini dapat terpenuhi jika memenuhi empat relasi dibawah ini:

C_{1111}=C_{2222}

C_{1133}=C_{2233}

C_{1212}=\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})

C_{1313}=C_{2323}

Untuk membuktikannya, kita dapat substitusi keempat persamaan diatas pada kesembilan persamaan sebelumnya, sebagai contoh saya akan buktikan untuk konstanta C_{1111}" dan C_{1212}" sbb:

C_{1111}" = (\sin^4\phi+\cos^4\phi) C_{1111}+2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1122}+4 \cos^2\phi\sin^2\phi (\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122}))

C_{1111}" = ((\sin^2\phi+\cos^2\phi)^2-2\sin^2\phi\cos^2\phi)C_{1111}+2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1122}+2 \cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1111}-C_{1122})

C_{1111}" = C_{1111}-2\sin^2\phi\cos^2\phi(C_{1111}-C_{1122})+2 \cos^2\phi\sin^2\phi (C_{1111}-C_{1122})

C_{1111}" = C_{1111}

C_{1212}" =2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1111}-2\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1122}+(\cos^4\phi-2\sin^2\phi\cos^2\phi+\sin^4\phi) C_{1212}

C_{1212}" =4\cos^2\phi\sin^2\phi (\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122}))+((\cos^2\phi+\sin^2\phi)^2 -4\sin^2\phi\cos^2\phi) C_{1212}

C_{1212}" =4\cos^2\phi\sin^2\phi C_{1212}+(1 -4\sin^2\phi\cos^2\phi) C_{1212}

C_{1212}" = C_{1212}

Sebagai catatan, pada buku-buku teks, umumnya pembuktian untuk material transversely orthotropic ini tidak menggunakan transformasi matrik kekakuan seperti dijelaskan di posting kali ini, namun dilakukan dengan membandingkan nilai tegangan sebelum dan setelah transformasi 😎

Nah, kesimpulannya, untuk material transversely orthotropic, berbekal empat relasi diatas, maka matriks kekakuan materialnya menjadi:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&0&0&0\\{...}&C_{1111}&C_{1133}&0&0&0\\{...}&{...}&C_{3333}&0&0&0\\{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&C_{1313}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Ini berarti, hanya ada 5 variabel independen dalam matriks kekakuan diatas !!

4. Material isotrop: Simetri rotasi/bidang pada semua sumbu/orientasi material

Akhirnya kita sampai juga pada poin keempat ini. Dengan menggunakan teknik pembuktian yang sama persis seperti poin ke 3 diatas, namun dengan simetri rotasi pada sumbu lainnya, kita bisa mendapatkan matriks kekakuan untuk material isotrop sbb:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1122}&0&0&0\\{...}&C_{1111}&C_{1122}&0&0&0\\{...}&{...}&C_{1111}&0&0&0\\{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Percaya atau tidak, meskipun matriks kekakuan ini terlihat kompleks, namun ternyata ia hanya tergantung pada 2 variabel kekakuan C_{1111} dan C_{1122}. Kedua konstanta inilah yang merepresentasikan dua parameter kekakuan (contoh: Modulus Young dan Rasio Poisson) untuk material elastik-isotrop.

Di posting selanjutnya saya akan membahas bagaimana kedua konstanta ini dapat dituliskan menjadi parameter-parameter elastik yang sudah umum kita kenal 😀

 

Filed Under: Mekanika Kontinum
«
»

Trackbacks

  1. Hukum Konstitutif Elastik – Rangkuman – Civil engineering as viewed by me berkata:
    November 11, 2015 pukul 11:23

    […] Pada kebanyakan kasus praktis, material seringkali diasumsikan sebagai material yang isotrop, sedemikian sehingga hanya memiliki 2 variabel bebas saja. Proses penurunannya bisa dilihat di dua posting terdahulu di sini dan sini. […]

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: