Hukum Konstitutif Elastik – Rangkuman

Material elastik adalah material yang mampu untuk menahan tegangan dan kembali ke kondisi inisialnya saat tegangan tersebut dihilangkan. Tulisan ini merangkum isi pembahasan beberapa posting yang lalu mengenai hukum konstitutif elastik.

Untuk material elastik linear, hubungan keduanya dapat diformulasi sebagai berikut:

\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon_{kl}

Dimana tegangan dan regangan adalah tensor orde 2 yang simetrik. Dalam hal ini keduanya dihubungkan oleh tensor kekakuan C_{ijkl} yang merupakan tensor orde 4.

Variabel bebas pada material elastik

Jumlah variabel independen pada matriks kekakuan elastik tergantung dari simetri material. Untuk kasus material yang anisotrop, material jenis ini memiliki 21 variabel independen. Sedangkan untuk material yang isotrop, variabel independennya hanya ada 2 saja.

Untuk lebih lengkapnya perhatikan tabel dibawah ini:

Material Jumlah variabel bebas
Anisotropic 21
Monoclinic 13
Orthotropic 9
Transversely Isotropic 5
Isotropic 2

Pada kebanyakan kasus praktis, material seringkali diasumsikan sebagai material yang isotrop, sedemikian sehingga hanya memiliki 2 variabel bebas saja. Proses penurunannya bisa dilihat di dua posting terdahulu di sini dan sini.

Dari posting yang lalu, sudah saya tunjukkan bahwa tensor tegangan dan regangan untuk material elastik-isotrop memiliki hubungan sbb:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1122}&0&0&0\\{...}&C_{1111}&C_{1122}&0&0&0\\{...}&{...}&C_{1111}&0&0&0\\{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Persamaan konstitutif elastik-linear-isotrop yang general

Variabel bebas C_{1111} dan C_{1122} adalah 2 koefisien untuk material elastik-isotrop. Menggunakan koefisien Lame \lambda dan \mu, kita dapat menulis keduanya sbb:

\lambda=C_{1122}

\mu=\frac{1}{2} (C_{1111}-C_{1122})

Sehingga:

\begin{Bmatrix} \sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{13}\\\sigma_{23}\end{Bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda+2\mu&\lambda&\lambda&0&0&0\\{...}&\lambda+2\mu&\lambda&0&0&0\\{...}&{...}&\lambda+2\mu&0&0&0\\{...}&{...}&{...}&\mu&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&\mu&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&\mu\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\{2\epsilon_{12}}\\{2\epsilon_{13}}\\{2\epsilon_{23}}\end{Bmatrix}

Menggunakan notasi indeks, persamaan tegangan-regangan diatas seringkali ditulis sbb:

\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{kk}

Ini adalah hukum Hooke yang digeneralisasi, yang digunakan untuk problem 3D.

Atau kadangkala juga ditulis dalam bentuk relasi regangan-tegangan sbb:

\epsilon_{ij}=\frac{-\lambda\delta_{ij}}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\sigma_{kk}+\frac{1}{2\mu}\sigma_{ij}

Cat: \epsilon_{kk} dan \sigma_{kk} adalah penjumlahan komponen diagonal pada tensor yang bersangkutan (atau disebut juga trace). Sedangkan \delta_{ij} adalah kronecker-delta, suatu fungsi yang bernilai 1 jika i=j dan bernilai 0 jika i \neq j

Menggunakan pasangan parameter elastik lainnya (E dan \nu), persamaan regangan-tegangan diatas dapat ditulis sbb:

\epsilon_{ij}=\frac{1}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{kk}\delta_{ij}-\sigma_{ij})

Relasi antar pasangan parameter elastik dapat dilihat pada bagian berikut.

Pasangan parameter elastik-isotrop

Sepasang parameter Lame ini, juga seringkali ditulis dalam pasangan parameter berikut:

  • Modulus bulk (K) dan modulus geser (G)
  • Modulus Young (E) dan rasio Poisson (\nu)

Relasi lengkap antar variabel elastik ini bisa dilihat dalam tabel dari wiki disini. Perlu dicatat bahwa parameter Lame \mu nilainya sama dengan modulus geser G.

Untuk memudahkan, nilai-nilai variabel elastik dalam tiga pasangan yang paling umum digunakan saya tabulasikan juga dibawah ini:

Konstanta \lambda dan \mu E dan \nu
K dan G
\lambda \lambda \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} K-\frac{2G}{3}
\mu=G \mu \frac{E}{2(1+\nu)} G
K \lambda+\frac{2\mu}{3} \frac{E}{3(1-2\nu)} K
E \frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{(\lambda+\mu)} E \frac{9KG}{3K+G}
\nu \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} \nu \frac{3K-2G}{6K+2G}

Sebagai contoh, bila pasangan parameter Lame sudah diketahui, maka Modulus Young dapat dikalkulasi dengan:

E=\frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{(\lambda+\mu)}

Meskipun setidaknya ada 3 pasang variabel elastik yang sering digunakan, namun total hanya ada 2 variabel bebas. Setiap variabel diatas ingin menggambarkan berbagai fenomena yang berbeda2, misalnya modulus bulk K menggambarkan relasi antara deformasi volumik dan tegangan kompresi, modulus Young E menggambarkan relasi antara tegangan dan regangan aksial, dst.

Contoh kalkulasi: Kompresi aksial

Modulus Young dan Rasio Poisson untuk banyak material sudah dapat kita temukan dari literatur. Menggunakan persamaan elastik yang telah digeneralisasi diatas, besarnya tegangan atau regangan dari material dapat kita hitung dengan mudah.

concrete-cube

Ilustrasi kubus beton

Contoh: Kita miliki sebuah kubus beton mutu tinggi dengan modulus Young E=30GPa dan rasio Poisson \nu=0.2. Pada kubus ini kita mengaplikasikan tegangan aksial sebesar 1 MPa pada sumbu 33.

Pertanyaan: Dengan mengasumsikan bahwa material tersebut elastik, berapa besarnya regangan/deformasi volumik pada kubus beton tersebut?

Jawab:

Ini dapat dijawab dengan mudah menggunakan persamaan generalized Hooke’s law yang telah dijabarkan diatas:

\epsilon_{ij}=\frac{1}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{kk}\delta_{ij}-\sigma_{ij})

Karena \sigma_{11}=\sigma_{22}=0 maka besarnya regangan pada tiap sumbu prinsipal:

\epsilon_{11}=\frac{1}{E}\sigma_{11}-\frac{\nu}{E}((\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\delta_{11}-\sigma_{11})=-\frac{\nu}{E}(\sigma_{33})

\epsilon_{22}=\frac{1}{E}\sigma_{22}-\frac{\nu}{E}((\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\delta_{22}-\sigma_{22})=-\frac{\nu}{E}(\sigma_{33})

\epsilon_{33}=\frac{1}{E}\sigma_{33}-\frac{\nu}{E}((\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})\delta_{33}-\sigma_{33})=\frac{1}{E}\sigma_{33}

Deformasi volumik adalah penjumlahan ketiga regangan pada sumbu prinsipal diatas:

\epsilon_{v}=\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}

\epsilon_{v}=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_{33})

\epsilon_{v}=\frac{1-2(0.2)}{30 GPa}(1 MPa)

\epsilon_{v}=\frac{1-2(0.2)}{30 GPa}(1 MPa)

\epsilon_{v}=2.10^{-5}

Demikian pembahasan mengenai hukum konstitutif elastik, di waktu-waktu mendatang saya akan lanjutkan dengan hukum konstitutif lainnya 😎

Iklan

Trackbacks

  1. […] kekuatan ultimitnya (di fase elastik), deformasi material dapat dihitung dengan mudah menggunakan hukum konstitutif elastik. Di fase elastik ini, hampir semua material normal akan mengalami […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: