Elastisitas – Fungsi Tegangan Airy

Di tulisan yang lalu,  saya sempat menuliskan gambaran singkat mengenai uji Brazilian/uji belah yang merupakan uji tarik tidak langsung.

Seperti saya telah saya singgung juga, saya akan menggunakan superposisi solusi Flamant untuk menurunkan persamaan yang digunakan untuk menghitung kapasitas tarik material getas pada uji Brazilian berikut:

f_t = \frac{2P}{\pi D L}

Untuk mendapatkan gambaran komplit mengenai solusi Flamant, maka saya dengan terpaksa harus menjelaskan beberapa hal dibelakang solusi Flamant ini agar pembaca (kalau berminat mendalami) sudah mengetahui cerita besarnya. :mrgreen: Diantara konsep-konsep dasar teori elastisitas, disini saya perlu menjelaskan mengenai fungsi tegangan Airy.

Fungsi tegangan Airy

Fungsi tegangan Airy ‘ditemukan’ oleh George Biddell Airy, seorang profesor di Cambridge pada abad ke 19. Teknik ini pertama kali diperkenalkannya pada tahun 1862. Pada perkembangannya, teknik ini banyak digunakan oleh para ilmuwan di pertengahan abad ke 20 untuk menyelesaikan berbagai problem di fracture mechanics.

Dengan menggunakan fungsi ini, kita bisa menyelesaikan berbagai problem 2D atau problem 3D plane stress dan plane strain yang mana secara efektif keduanya merupakan problem 2D (parameternya independen terhadap arah ketiga).

george-biddell-airy

George Biddell Airy (1801-1892)

Pertama-tama, dari hukum gerak Newton, kita ketahui bahwa:

div \overline{\overline{\sigma}} + \rho f = \rho a

Untuk kasus statik maka:

div \overline{\overline{\sigma}} + \rho f = 0

Untuk kasus dimana berat sendiri sistem diabaikan, maka:

div \overline{\overline{\sigma}} = 0

Kita bisa jabarkan persamaan ini sbb:

\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial x_2}+\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_3} = 0

\frac{\partial\sigma_{21}}{\partial x_1}+\frac{\partial\sigma_{22}}{\partial x_2}+\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_3} = 0

\frac{\partial\sigma_{31}}{\partial x_1}+\frac{\partial\sigma_{32}}{\partial x_2}+\frac{\partial\sigma_{33}}{\partial x_3} = 0

Untuk problem dua dimensi persamaan diatas dapat disederhanakan lagi menjadi:

\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial x_2} = 0

\frac{\partial\sigma_{21}}{\partial x_1}+\frac{\partial\sigma_{22}}{\partial x_2} = 0

Dapat kita lihat bahwa tegangan dalam persamaan diatas hanya terdiri dari tiga komponen, yaitu tegangan prinsipal \sigma_{11} dan \sigma_{22}, serta tegangan geser \sigma_{12}=\sigma_{21} (baca juga soal simetrisitas tensor tegangan).

Sekarang misalkan ada suatu fungsi skalar \varphi untuk suatu problem 2 dimensi. Kemudian asumsikan turunan parsial dari fungsi ini memiliki relasi sebagai berikut:

\sigma_{11}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}

\sigma_{22}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}

\sigma_{12}= -\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2}

Hasil substitusi ketiga persamaan diatas pada dua persamaan gerak 2D yang dijabarkan sebelumnya menghasilkan:

\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2})-\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2}) = 0

-\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2})+\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}) = 0

Kita bisa sederhanakan menjadi:

\frac{\partial^3\varphi}{\partial x_2^2 \partial x_1}-\frac{\partial^3\varphi}{\partial x_2^2 \partial x_1} = 0

-\frac{\partial^3\varphi}{\partial x_1^2 \partial x_2}+\frac{\partial^3\varphi}{\partial x_1^2 \partial x_2} = 0

Dapat kita lihat bahwa kedua persamaan diatas terbukti bernilai nol. Ini adalah hasil yang sangat menarik. Mengapa? Ini berarti bahwa persamaan gerak/kesetimbangan diatas pasti selalu terpenuhi dengan fungsi skalar \varphi ‘apapun’ asalkan memenuhi ketiga asumsi diatas. Fungsi \varphi inilah yang dikenal sebagai fungsi tegangan Airy.

Kata ‘apapun’ diatas saya tulis dengan tanda kutip, ini disebabkan karena selain persamaan gerak Newton yang telah dijabarkan diatas, masih ada dua kondisi lain yang harus dipenuhi dalam suatu sistem, yaitu persamaan kompatibilitas dan persamaan konstitutif. Untuk mengetahui mengapa suatu sistem harus memenuhi tiga kondisi ini, bisa membaca posting singkat saya mengenai hukum konstitutif.

Dibawah ini saya akan membahas terlebih dahulu mengenai persamaan kompatibilitas dan persamaan konstitutif sebelum menjabarkan batasan dari fungsi tegangan Airy.

Persamaan kompatibilitas 2D

Secara prinsip, persamaan kompatibilitas diperoleh dari hubungan deformasi-perpindahan. Bila kita asumsikan bahwa deformasi yang terjadi adalah kecil maka hubungan deformasi-perpindahannya:

\overline{\overline{\epsilon}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})

Untuk kasus 2D kita bisa jabarkan menjadi:

\epsilon_{11}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}

\epsilon_{22}=\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}

\epsilon_{12}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1})

Untuk menggabungkan ketiga persamaan diatas, kita bisa turunkan ketiga persamaan diatas sbb:

\frac{\partial^2 \epsilon_{11}}{\partial x_2^2}=\frac{\partial^3 u_{1}}{\partial x_{1} \partial x_2^2}

\frac{\partial^2 \epsilon_{22}}{\partial x_1^2}=\frac{\partial^3 u_{2}}{\partial x_{2} \partial x_1^2}

\frac{\partial^2 \epsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}=\frac{1}{2}(\frac{\partial^3 u_1}{\partial x_1 \partial x_2^2}+\frac{\partial^3 u_2}{\partial x_1 \partial x_2})

Bila kita jumlahkan ketiganya menggunakan hubungan berikut:

\frac{\partial^2 \epsilon_{11}}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2 \epsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \epsilon_{22}}{\partial x_1^2}=\frac{\partial^3 u_{1}}{\partial x_{1} \partial x_2^2}-(\frac{\partial^3 u_1}{\partial x_1 \partial x_2^2}+\frac{\partial^3 u_2}{\partial x_1 \partial x_2})+\frac{\partial^3 u_{2}}{\partial x_{2} \partial x_1^2}=0

Persamaan inilah yang dikenal dengan persamaan kompatibilitas untuk kasus 2D

\frac{\partial^2 \epsilon_{11}}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2 \epsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \epsilon_{22}}{\partial x_1^2}=0

Persamaan konstitutif elastik

Untuk kasus material elastik-isotrop, hubungan konstitutif material (hubungan tegangan-regangan) dapat dijabarkan dengan persamaan berikut:

\epsilon_{ij}=\frac{1}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{kk}\delta_{ij}-\sigma_{ij})

Penjelasan lebih detailnya bisa cek tulisan saya yang lalu. Parameter E dan \nu merepresentasikan dua parameter elastik suatu material, dalam hal ini Modulus Young dan Rasio Poisson.

Persamaan biharmonik

Sekarang kita kumpulkan informasi-informasi yang telah kita miliki mengenai fungsi tegangan Airy \varphi:

(1). Dari persamaan gerak Newton

\sigma_{11}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}

\sigma_{22}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}

\sigma_{12}= -\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2}

(2).Dari persamaan kompatibilitas

\frac{\partial^2 \epsilon_{11}}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2 \epsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \epsilon_{22}}{\partial x_1^2}=0

(3). Terakhir dari persamaan konstitutif elastik-isotrop

\epsilon_{ij}=\frac{1}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{kk}\delta_{ij}-\sigma_{ij})

Untuk kasus 2D, poin (3) ini bisa dijabarkan sbb:

\epsilon_{11}=\frac{1}{E}\sigma_{11}-\frac{\nu}{E}((\sigma_{11}+\sigma_{22})-\sigma_{11})=\frac{1}{E}(\sigma_{11}-\nu\sigma_{22})

\epsilon_{22}=\frac{1}{E}\sigma_{22}-\frac{\nu}{E}((\sigma_{11}+\sigma_{22})-\sigma_{22})=\frac{1}{E}(\sigma_{22}-\nu\sigma_{11})

\epsilon_{12}=\frac{1}{E}\sigma_{12}-\frac{\nu}{E}(-\sigma_{12})=\frac{\sigma_{12}}{E}(1+\nu)

Bila kita substitusi asumsi pada poin (1) di poin (3) ini, kita peroleh:

\epsilon_{11}=\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}-\nu\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2})

\epsilon_{22}=\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}-\nu\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2})

\epsilon_{12}=\frac{1}{E}(1+\nu)(-\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2})

Sekarang kita substitusi lagi ketiga persamaan diatas pada persamaan kompatibilitas yang dijabarkan di poin (2), maka kita peroleh

\frac{\partial^2 \epsilon_{11}}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2 \epsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}+\frac{\partial^2 \epsilon_{22}}{\partial x_1^2}=0

\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}(\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}-\nu\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}))-2\frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2}(\frac{1}{E}(1+\nu)(-\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2}))+\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}(\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}-\nu\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}))=0

\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}(\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}))+\frac{2}{E}\frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2})+\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}(\frac{1}{E}(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}))=0

\frac{\partial^4\varphi}{\partial x_2^4}+\frac{2 \partial^4\varphi}{\partial x_1^2 \partial x_2^2}+\frac{\partial^4\varphi}{\partial x_1^4}=0

Persamaan terakhir diatas inilah yang dikenal dengan nama persamaan biharmonik yang menjadi pembatas dari kondisi ‘apapun’ pada fungsi tegangan Airy yang saya bahas pada bagian pertama tulisan ini. Persamaan ini juga seringkali ditulis sbb:

\nabla^4\varphi=0

Jadi fungsi tegangan Airy bisa bernilai apapun asalkan memenuhi persamaan biharmonik diatas.

Aplikasi dari fungsi tegangan Airy

Nah, sekarang setelah pusing membaca penurunan diatas, kita tentu ingin tahu, apa sih aplikasi fungsi ini?

Sebelum menjawab pertanyaan ini, kita review sedikit mengenai fungsi tegangan Airy: (1) Fungsi tegangan Airy adalah fungsi skalar; (2) Fungsi tegangan Airy bisa apa saja, asalkan memenuhi persamaan biharmonik; (3) Hubungan antara fungsi tegangan Airy dan tegangan pada suatu sistem harus memenuhi:

\sigma_{11}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}

\sigma_{22}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}

\sigma_{12}= -\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \partial x_2}

Ini berarti, suatu fungsi tegangan Airy sembarang adalah solusi dari suatu problem !! Tapi problemnya, kita harus cek fungsi tersebut merupakan solusi dari problem apa !?

Hehehe, jangan bingung, sebagai contoh, secara sembarang kita nyatakan bahwa fungsi tegangan Airy suatu problem didefinisikan sbb: \varphi=\frac{1}{2}Ay^2, dimana A adalah konstanta.

Karena ini adalah polinomial orde 1, dengan mudah kita bisa tahu bahwa persamaan ini memenuhi persamaan biharmonik. Sekarang kita cek besar tegangan yang berkorelasi dengan fungsi ini

\sigma_{11}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=0

\sigma_{22}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=A

\sigma_{12}= -\frac{\partial^2\varphi}{\partial x \partial y}=0

Tegangan ini berkorelasi dengan kasus 2D apa? Dengan tegangan prinsipal pada sumbu x nol, tegangan prinsipal pada sumbu y sama dengan suatu konstanta A dan tegangan geser juga nol, maka dapat ditebak dengan mudah ini adalah kasus penampang persegi yang diberi pembebanan tarik/tekan (tergantung makna tanda positif di konstanta A) !!

simple-comp-tensIlustrasi tegangan yang berkorelasi dengan fungsi tegangan Airy \varphi=\frac{1}{2}Ay^2

Waduh, sekarang jadi timbul pertanyaan, mengapa sih untuk problem semudah itu perlu susah-susah pakai fungsi tegangan Airy? :mrgreen:

Fungsi tegangan Airy ini ternyata bisa menyelesaikan banyak problem yang rumit loh. Alasannya, kondisi tegangan untuk suatu problem dapat dijabarkan secara lengkap, bila kita telah ketahui fungsi Airy-nya. Salah satunya tentu saja, berkaitan dengan formulasi uji Brazilian yang saya singgung diawal tulisan ini. Untuk lebih jelasnya akan saya sambung di posting mendatang 😀

 

Iklan

Trackbacks

  1. […] bagian, dibagian pertama ini saya membahas mengenai solusi Michell yang merupakan solusi umum dari fungsi tegangan Airy untuk sistem koordinat silindrik. Di bagian kedua nanti, saya baru akan membahas mengenai […]

  2. […] yang dapat digunakan untuk mengkalkulasi kuat tarik pada uji Brazilian, saya akan gunakan metode tegangan Airy pada sistem koordinat silindrik. Metode ini boleh dibilang paling ‘sederhana’ diantara […]

  3. […] Fungsi tegangan Airy adalah fungsi apapun yang memenuhi persamaan biharmonik. Persamaan biharmonik ini sendiri adalah kombinasi dari persamaan kesetimbangan Newton, persamaan kompatibilitas (dihasilkan dari hubungan deformasi-perpindahan) dan persamaan konstitutif. […]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: