Kapasitas Lateral Tiang dengan PY Analysis (Metode Beda Hingga)

Mei 3, 2021 oleh Tinggalkan sebuah Komentar

Menghitung pile axial capacity pasti banyak yang bisa. Tapi untuk menghitung lateral pile capacity, menurut pengamatan saya hingga saat ini masih banyak yang “kesulitan” melakukan kalkulasinya.

Ada beberapa metode yang umum digunakan untuk menghitung pile lateral capacity, antara lain: (1) Brom’s method; (2) Elastic method; (3) P-Y analysis.

Diantara metode yang disebutkan diatas, sepemahaman saya P-Y analysis-lah yang paling “baik” digunakan, karena pada analisis ini, tanah dimodelkan sebagai elastoplastic material. Namun aplikasi metode ini juga yang paling “sulit” karena biasanya memerlukan penggunaan software komersial seperti LPile dan AllPile.

Pada tulisan ini saya akan berikan review penurunan formulasi finite difference untuk kalkulasi lateral pile capacity dan contoh aplikasinya. Untuk simpelnya, nanti saya akan asumsikan soil sebagai elastic material saja. Kalau sudah paham tulisan ini, artinya kita sudah bisa melakukan P-Y analysis seminimal-minimalnya untuk elastic soil.

Ilustrasi dibawah ini menunjukkan reaksi sebuah pile saat dibebani beban lateral (untuk fixed-head pile, kita juga memiliki tambahan beban momen). Dapat kita lihat bahwa dengan mengetahui external load dan soil properties, maka kita bisa menghitung defleksi dan gaya dalam pile bukan hanya di kepala tiang, namun disepanjang badan pile. Secara prinsip, ini akan sangat serupa dengan problem beam on elastic foundation [Hetenyi, 1946].

Click for text description
Parameter pada pile yang dibebani secara lateral (source)

Governing equation untuk pile yang dibebani secara lateral

Untuk menyelesaikan problem diatas dengan metode finite difference, kita perlu mendapatkan governing equation-nya terlebih dahulu. Ini bisa kita dapatkan dari free body diagram suatu segmen pile. Free body diagram dari suatu segmen pile dapat dilihat dalam ilustrasi dibawah ini dimana:

  • M adalah bending moment.
  • V adalah gaya geser.
  • N adalah gaya aksial tekan.
  • p adalah applied distributed load pada segmen tersebut.
Free body diagram dari suatu segmen tiang

Berdasarkan free body diagram diatas, menggunakan kesetimbangan momen kita bisa kalkulasi persamaan berikut:

\sum M = (M+dM) - M - Vdx + Ndy - p dx \frac{dx}{2}

Bila dx kecil, maka kita bisa abaikan term p dx \frac{dx}{2} sedemikian sehingga:

0 = dM - Vdx + Ndy

Kemudian kita turunkan persamaan diatas dua kali terhadap dx, maka kita peroleh:

0 = \frac{d^2 M}{dx^2} - \frac{dV}{dx} + N \frac{d^2 y}{dx^2}

=========================

Nah dari sini kita harus mengubah governing equation diatas kedalam bentuk yang lebih general. Lebih spesifiknya, kita perlu mendefinisikan parameter gaya dalam M kedalam bentuk differential equation. Dari studi mekanika teknik, kita ketahui bahwa gaya dalam momen pada suatu section adalah penjumlahan gaya kopel pada neutral line, yang secara matematis dapat dituliskan sbb:

M = \int y (\sigma dA)

Kemudian pada elastic material, kita ketahui bahwa tegangan adalah perkalian elastic modulus E dengan regangan \epsilon, sehingga:

M = \int y (E \epsilon dA)

Mengasumsikan bahwa saat pile dibebani, penampang datar tetap datar, serta menggunakan definisi curvature (lihat gambar dibawah ini untuk lebih jelasnya), persamaan diatas dapat dituliskan menjadi:

M = \int y (E \kappa y dA)

M = E \kappa \int (y^2 dA)

Karena kita tahu term \int (y^2 dA) adalah moment of inertia (second moment of area), maka kita bisa sederhanakan persamaan diatas menjadi:

M = EI \kappa

Relasi antara strain dan curvature (source)

Parameter curvature \kappa adalah besaran perubahan dari slope s, sedemikian sehingga curvature \kappa dapat dituliskan dalam differential equation dibawah ini:

s = \frac{dy}{dx}

\kappa = \frac{d^2 y}{dx^2}

Sehingga diperoleh:

M = EI \kappa = EI \frac{d^2 y}{dx^2}

=========================

Selanjutnya, menggunakan free body diagram dan kesetimbangan gaya pada arah y (arah transversal tiang), kita bisa kalkulasi kesetimbangannya sbb:

\sum F_y = V - (V + dv) + p dx

0 = -dv + p dx

p = \frac{dv}{dx}

Sekarang governing equation pada suatu segmen pile dapat dituliskan sbb:

0 = \frac{d^2 M}{dx^2} - \frac{dV}{dx} + N \frac{d^2 y}{dx^2}

0 = \frac{d^2}{dx^2} (EI \frac{d^2 y}{dx^2}) - p + N \frac{d^2 y}{dx^2}

Term p adalah distributed load (beban terbagi merata pada suatu segmen tiang). Bila ini merepresentasikan reaksi dari tanah, maka untuk model tanah elastik nilainya adalah sbb:

p = -E_s y

Perhatikan nilainya negatif karena ini adalah reaksi dari tanah. Note: E_s adalah P-Y modulus untuk elastic soil material. Substitusikan persamaan diatas maka kita peroleh:

0 = \frac{d^2}{dx^2} (EI \frac{d^2 y}{dx^2}) - (-E_s y) + N \frac{d^2 y}{dx^2}

0 = \frac{d^2}{dx^2} (EI \frac{d^2 y}{dx^2}) + E_s y + N \frac{d^2 y}{dx^2}

Solusi beda hingga untuk penyelesaian persamaan differensial

Setelah mendapatkan governing equation diatas, challenge selanjutnya adalah bagaimana mencari solusinya… 🙂

Seperti sempat didiskusikan diawal, P-Y analysis menggunakan finite difference untuk menyelesaikan problem persamaan differensial diatas. Saya tidak bahas dengan detail mengenai definisi metode finite difference karena bisa dibaca sendiri di wiki, namun pada prinsipnya dengan metode ini kita bisa mendapatkan solusi pendekatan dari suatu persamaan differensial.

Dengan menggunakan pendekatan beda hingga, maka kita in essence mendiskretisasi pile menjadi segmen-segmennya. Ilustrasinya dapat dilihat dibawah ini. Sedemikian sehingga, bila kita ketahui boundary condition dari problem ini, maka perilaku dari segmen-segmen lainnya dapat dikalkulasi dengan mudah.

Diskretisasi pile menjadi segmen-segmennya

Menggunakan central difference untuk second-order equation, maka formula pendekatan beda hingganya dapat dituliskan sbb:

\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1} }{h^2}

Bila kita lihat kembali persamaan diferensial untuk gaya dalam momen, persamaan tersebut dapat dituliskan dalam solusi beda hingganya sbb:

M = EI \kappa = EI \frac{d^2 y}{dx^2}

M_i = EI \frac{d^2 y}{dx^2} = (EI)_i (\frac{y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1} }{h^2})

Sederhana kan prinsipnya? 😀 Cat: Index i mengindikasikan nomor segmen yang didiskretisasi. Sekarang kita perlu aplikasikan solusi beda hingga ini untuk seluruh term pada governing equation.

Solusi beda hingga dari term pertama adalah sbb:

\frac{d^2}{dx^2} (M) = \frac{M_{i+1} - 2M_i +M_{i-1}}{h^2}

\frac{d^2}{dx^2} (M) = \frac{1}{h^2}((EI)_{i+1} (\frac{y_{i+2} - 2 y_{i+1} + y_{i} }{h^2}) - 2(EI)_{i} (\frac{y_{i+1} - 2 y_{i} + y_{i-1} }{h^2}) + (EI)_{i-1} (\frac{y_{i} - 2 y_{i-1} + y_{i-2} }{h^2}) )

Dengan mensubstitusi parameter kekakuan tiang dengan R=EI, maka kita bisa sederhanakan persamaan diatas sbb:

\frac{d^2}{dx^2} (M) = \frac{1}{h^4} \{ y_{i-2} R_{i-1} + y_{i-1} (-2R_{i} -2R_{i-1}) + y_{i} (R_{i+1} - 4R_{i} + R_{i-1}) + y_{i+1} (-2R_{i+1} -2R_{i}) + y_{i+2} R_{i+1} \}

Term kedua tidak memerlukan solusi beda hingga.

Terakhir, solusi beda hingga dari term ketiga adalah sbb:

N \frac{d^2 y}{dx^2} = N (\frac{y_{i+1} - 2y_{i} + y_{i-1}}{h^2})

Sekarang tinggal kita kumpulkan seluruh solusi diatas, sedemikian sehingga governing equation untuk segmen pile yang dibebani secara lateral dapat dituliskan dalam solusi beda hingganya:

0 = \frac{d^2}{dx^2} (EI \frac{d^2 y}{dx^2}) + E_s y + N \frac{d^2 y}{dx^2}

0 = \frac{1}{h^4} \{ y_{i-2} R_{i-1} + y_{i-1} (-2R_{i} -2R_{i-1}) + y_{i} (R_{i+1} - 4R_{i} + R_{i-1}) + y_{i+1} (-2R_{i+1} -2R_{i}) + y_{i+2} R_{i+1} \} + E_s y_i + N (\frac{y_{i+1} - 2y_{i} + y_{i-1}}{h^2})

0 = \{ y_{i-2} R_{i-1} + y_{i-1} (-2R_{i} -2R_{i-1}) + y_{i} (R_{i+1} - 4R_{i} + R_{i-1}) + y_{i+1} (-2R_{i+1} -2R_{i}) + y_{i+2} R_{i+1} \} + h^4 E_s y_i + N h^2 (y_{i+1} - 2y_{i} + y_{i-1})

0 = y_{i-2} R_{i-1} + y_{i-1} (-2R_{i} -2R_{i-1} + N h^2) + y_{i} (R_{i+1} - 4R_{i} + R_{i-1} + h^4 E_s -2N h^2 ) + y_{i+1} (-2R_{i+1} -2R_{i} + N h^2) + y_{i+2} R_{i+1}

Kondisi batas (boundary conditions)

Diatas ini adalah formulasi beda hingga untuk segmen pile yang lokasinya ada di “tengah-tengah” (reminder: kita menggunakan central difference approach). Dengan formulasi diatas, berarti pada titik paling atas dan paling bawah tiang, kita punya tambahan 4 imaginary nodes (lihat ilustrasi dibawah ini)

Untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut, berarti kita perlu menerapkan kondisi batas yang sesuai sbb:

  • Pada ujung atas tiang, kita perlu menginputkan besaran momen dan gaya geser yang terjadi (dari upper structure).
  • Pada ujung bawah tiang, kita asumsikan bahwa besaran momen dan gaya gesernya sudah nol. Ini berarti, secara implisit pile harus cukup panjang sedemikian sehingga failure mode yang terjadi bukanlah wedge block failure.

Dengan aplikasi kondisi batas tersebut, maka sudah lengkap kita miliki 4 persamaan tambahan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan problem ini. Dalam formulasi beda hingga, keempat persamaan kondisi batas tersebut adalah sbb:

(1) Beban momen di kepala tiang:

M = R_i (\frac{y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1} }{h^2})

(2) Beban lateral di kepala tiang:

V = \frac{dM}{dx} + N \frac{dy}{dx}

V = \frac{(M_{i+1} - M_{i-1})}{2h} + N \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}

V = \frac{R_{i+1} (y_{i+2} - 2 y_{i+1} + y_{i}) - R_{i-1} (y_{i} - 2 y_{i-1} + y_{i-2})}{2h^3} + N \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}

Pada imaginary nodes kita asumsikan R_i = R_{i+1} = R_{i+2} sehingga:

V = \frac{R_{i} (y_{i+2} - 2 y_{i+1} + 2 y_{i-1} - y_{i-2})}{2h^3} + N \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}

V = -y_{i-2} (\frac{R_{i}}{2h^3}) + y_{i-1} (\frac{R_{i}}{h^3} - \frac{N}{2h}) - y_{i+1} (\frac{R_{i}}{h^3} - \frac{N}{2h}) + y_{i+2} (\frac{R_{i}}{2h^3})

(3) Momen nol di kaki tiang:

0 = y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}

(4) Gaya geser nol di kaki tiang:

0 = -y_{i-2} (\frac{R_{i}}{2h^3}) + y_{i-1} (\frac{R_{i}}{h^3} - \frac{N}{2h}) - y_{i+1} (\frac{R_{i}}{h^3} - \frac{N}{2h}) + y_{i+2} (\frac{R_{i}}{2h^3})

0 = -y_{i-2} + y_{i-1} (2 - \frac{N h^2}{R_i}) - y_{i+1} (2 - \frac{N h^2}{R_i}) + y_{i+2}

Solusi untuk problem beda hingga

Kini kita telah dapatkan seluruh persamaan beda hingga yang diperlukan beserta aplikasi kondisi batasnya. Sekarang tinggal mencari solusi dari problem diatas !!

Bila kita cermati formula diatas, kita bisa atur formula diatas menjadi sbb dibawah ini.

{u} [K] = {F}

\begin{Bmatrix} y_{i+2} \\ y_{i+1} \\ y_{i} \\ ... \\ y_{-1} \\ y_{-2} \\ \end{Bmatrix} [K] = \begin{Bmatrix} V \\ M \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ \end{Bmatrix}

Karena kita sudah ketahui besaran matriks kekakuan [K] dan vektor beban {F}, maka besaran displacement lateral tiang dapat dikalkulasi dengan melakukan invers matriks kekakuan sbb:

{u} = [K]^{-1} {F}

Menggunakan excel, invers matriks kekakuan tersebut dapat dihitung dengan mudah menggunakan fungsi MINVERSE.

Setelah mendapatkan besaran lateral displacement, kalkulasi gaya dalam momen dan gaya dalam geser sangat mudah, yaitu kembali dengan mengaplikasikan formula beda hingga yang telah dijabarkan diatas.

Contoh aplikasi dengan EXCEL

Menggunakan EXCEL, kita bisa aplikasikan formulasi diatas dan kita dapat menghitung lateral pile capacity tiang.

Pertama-tama, asumsikan data berikut:

  • Panjang pile 25 m yang akan didiskretisasi menjadi 25 nodal (+4 imaginary nodes).
  • Beban pada kepala tiang M=200 kN-m, V=100 kN, dan N=1000 kN.
  • Asumsikan soil elastic modulus yang uniform sebesar E_s = 2500 kN/m/m.
  • Tiang adalah concrete spun pile dengan f_c'=50 MPa, berdiameter 500 mm, dan tebal 90 mm.

Pertama-tama kita bisa hitung kekakuan tiang (tidak saya jabarkan detail kalkulasinya), yaitu R = EI = 84854.5 kN-m2. Kemudian kita bisa buat matriks kekakuannya sbb dibawah ini:

Matriks kekakuan hasil formulasi persamaan beda hingga

Selanjutnya kita bisa cari invers matriks kekakuan diatas:

Invers matriks kekakuan

Mengalikan invers matriks kekakuan dengan kondisi batas (force) yang dimiliki maka kita bisa dapatkan kurva perpindahan lateral disepanjang tiang. Dapat kita lihat bahwa perpindahan maksimal di kepala tiang adalah sekitar 38 mm.

Kurva perpindahan lateral pada tiang

Kalkulasi gaya dalam momen dan gaya dalam geser juga straightforward, hasilnya saya tampilkan dibawah ini.

Gaya dalam momen dan geser pada tiang

Perlu dicatat juga bahwa kita tidak harus menggunakan soil properties yang uniform, untuk setiap segmen, kita bisa saja menggunakan soil elastic properties yang berbeda-beda. Menarik kan ?! Menurut pendapat saya, kalau kita tidak memiliki software komersial, hasil diatas ini sudah sangat berguna untuk digunakan sebagai first estimation.

Kalau mau tahu lebih lanjut mengenai basis teori diatas, bisa iseng membaca-baca literatur berikut COM624P Laterally Loaded Pile Analysis Program for the Microcomputer Version 2.0. 🙂

PS: Inspired also by blogs by NewtonExcelBack (see link below), diatas saya hanya tambahkan informasi lebih detail mengenai penurunan formulasi finite difference-nya.

https://newtonexcelbach.com/2009/09/26/lpile-analysis-of-lateral-loads-on-piles/

Filed Under: Mekanika Tanah
«

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: